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स्पर्श-रेखा PT वत्त $x^2+y^2=4$ को बिन्दु $P(\sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्श करती है। सरल रेखा $L, P T$ के लम्बवत् है और वत्त $(x-3)^2+y^2=1$ की स्पर्श-रेखा है।
$1.$ दोनों वत्तो की एक उभयनिष्ठ स्पर्श-रेखा (common tangent) निम्न है
$(A)$ $x=4$ $(B)$ $y=2$ $(C)$ $x+\sqrt{3} y=4$ $(D)$ $x+2 \sqrt{2} y=6$
$2.$ $L$ का एक सम्भावित समीकरण निम्न है -
$(A)$ $x-\sqrt{3} y=1$ $(B)$ $x+\sqrt{3} y=1$ $(C)$ $x-\sqrt{3} y=-1$ $(D)$ $x+\sqrt{3} y=5$
इस प्रश्न के उतर दीजिये $1$ ओर $2.$
$(D,A)$
$(B,D)$
$(B,C)$
$(C,D)$
Solution
$1.$ $Image$
Equation of tangent at $(\sqrt{3}, 1)$
$\sqrt{3} x+y=4$
$Image$
B divides $C _1 C _2$ in $2 : 1$ externally
$\therefore B(6,0)$
Hence let equation of common tangent is
$y-0=m(x-6) $
$m x-y-6 m=0$
length of $\perp^{\text {r }}$ dropped from center $(0,0)=$ radius
$\left|\frac{6 m}{\sqrt{1+m^2}}\right|=2 \Rightarrow m= \pm \frac{1}{2 \sqrt{2}}$
$\therefore$ equation is $x+2 \sqrt{2} y=6$ or $x-2 \sqrt{2} y=6$
$2.$ Equation of $L$ is
$x-y \sqrt{3}+c=0$
length of perpendicular dropped from centre $=$ radius of circle
$\therefore\left|\frac{3+C}{2}\right|=1 \Rightarrow C=-1,-5 $
$\therefore x-\sqrt{3} y=1 \text { or } x-\sqrt{3} y=5$
