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10-1.Circle and System of Circles
hard
यदि $a > 2b > 0$ तब $m$ का धनात्मक मान जिसके लिए $y = mx - b\sqrt {1 + {m^2}} $, वृत्तों ${x^2} + {y^2} = {b^2}$ तथा ${(x - a)^2} + {y^2} = {b^2}$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है
A
$\frac{{2b}}{{\sqrt {{a^2} - 4{b^2}} }}$
B
$\frac{{\sqrt {{a^2} - 4{b^2}} }}{{2b}}$
C
$\frac{{2b}}{{a - 2b}}$
D
$\frac{b}{{a - 2b}}$
(IIT-2002)
Solution
(a) ${x^2} + {y^2} = {b^2}$ की स्पर्षी $y = mx – b\,\sqrt {1 + {m^2}} $ है।
यह ${(x – a)^2} + {y^2} = {b^2}$ को स्पर्श करती है यदि
$\frac{{ma – b\sqrt {1 + {m^2}} }}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = b$
$⇒$ $ma = 2b\sqrt {1 + {m^2}} $
${m^2}{a^2} = 4{b^2} + 4{b^2}{m^2}$,
$\therefore $$m = \pm \,\frac{{2b}}{{\sqrt {{a^2} – 4{b^2}} }}$.
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