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Trigonometrical Equations
hard
वह सभी युग्म $( x , y )$ जो असमिका $2 \sqrt{\sin ^{2} x-2 \sin x+5} \cdot \frac{1}{4^{\sin ^{2} y}} \leq 1$ को संतुष्ट करते हैं, निम्न में से किस समीकरण को भी संतुष्ट करते हैं ?
A
$2\left| {\sin \,x} \right| = 3\sin \,y$
B
$\sin \,x = \left| {\sin \,y} \right|$
C
$2\,sin\, x = sin\, y$
D
$sin\, x = 2\, sin\, y$
(JEE MAIN-2019)
Solution
$2^{\sqrt{\sin ^{2} x-2 \sin x+5}}-4^{-\sin ^{2} y} \leq 1$
$ \Rightarrow \,{2^{\sqrt {{{(\sin \,x – 1)}^2} + 4} }}\, \leqslant {4^{{{\sin }^2}y}}$
$\sqrt {\frac{{\underbrace {{{(\sin \,x – 1)}^2}}_{ \geqslant 0} + 4}}{{ \geqslant 2}}} \leqslant \underbrace {2\,{{\sin }^2}\,y}_{ \leqslant 2}$
this is possible only if $\sin x=1$ and $|\sin y|=1$
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