सिद्ध कीजिए: $\cos 2 x \cos _{2}^{x}-\cos 3 x \cos \frac{9 x}{2}=\sin 5 x \sin \frac{5 x}{2}$
We have
${\text{L}}{\text{.H}}{\text{.S}}{\text{. }} = \frac{1}{2}\left[ {2\cos 2x\cos \frac{x}{2} - 2\cos \frac{{9x}}{2}\cos 3x} \right]$
$ = {1}{2}[ \cos \left( {2x + \frac{x}{2}} \right) + \cos \left( {2x - \frac{x}{2}} \right)$
$ - \cos \left( {\frac{{9x}}{2} + 3x} \right) - \cos \left( {\frac{{9x}}{2} - 3x} \right) $
$ = \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{{5x}}{2} + \cos \frac{{3x}}{2} - \cos \frac{{15x}}{2} - \cos \frac{{3x}}{2}} \right]$
$ = \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{{5x}}{2} - \cos \frac{{15x}}{2}} \right]$
$ = \frac{1}{2}\left[ { - 2\sin \left\{ {\frac{{\frac{{5x}}{2} + \frac{{15x}}{2}}}{2}} \right\}\sin \left\{ {\frac{{\frac{{5x}}{2} - \frac{{15x}}{2}}}{2}} \right\}} \right]$
$ = - \sin 5x\sin \left( { - \frac{{5x}}{2}} \right)$
$ = \sin 5x\sin \frac{{5x}}{2} = R.H.S.$
यदि समीकरण $\cos ^{4} \theta+\sin ^{4} \theta+\lambda=0$ के $\theta$ में वास्तविक हल है, तो $\lambda$ निम्न में से किस अन्तराल में स्थित है ?
समीकरणों $\tan \theta = - 1$ तथा $\cos \theta = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ को सन्तुष्ट करने वाला $\theta $ का सर्वव्यापक मान है
समीकरणों $\sin \theta = - \frac{1}{2}$ तथा $\tan \theta = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ को सन्तुष्ट करने वाला $\theta $ का सर्वव्यापक मान है
यदि $\frac{{\tan 3\theta - 1}}{{\tan 3\theta + 1}} = \sqrt 3 $, तो $\theta $ का व्यापक मान है
यदि समीकरण $\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2}=\cos 3 \theta \cos \frac{9 \theta}{2}$ को संतुष्ट करने वाले अंतराल $[-\pi, \pi]$ में $\theta$ के धनात्मक तथा ऋणात्मक मानों की संख्या क्रमशः $m$ तथा $n$ है, तो $\mathrm{mn}$ बराबर है____________.