माना $E$ एक दीर्घवत्त है जिसके अक्ष, निर्देशांक अक्षों के समांतर हैं। इसका केन्द्र $(3,-4)$ पर, एक नाभि $(4,-4)$ पर तथा एक शीर्ष $(5,-4)$ पर हैं। यदि $mx - y =4, m >0$ दीर्घवत्त $E$ की एक स्पर्श रेखा है, तो $5 m ^{2}$ का मान बराबर है ......... |

माना कि $T_1$ एवं $T_2$ दीर्घवृत (ellipse) $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ एवं परवलय (parabola) $P: y^2=12 x$ की दो भिन्न उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं (distinct common tangents) हैं। माना कि स्पर्श रेखा $T_1, P$ एवं $E$ को क्रमशः बिन्दुओं $A_1$ एवं $A_2$ पर स्पर्श करती है और स्पर्श रेखा $T_2, P$ एवं $E$ को क्रमशः बिन्दुओं $A_4$ एवं $A_3$ पर स्पर्श करती है। तब निम्न में से कौन सा(से) कथन सत्य है(हैं)?

$(A)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $35$ वर्ग इकाई है

$(B)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $36$ वर्ग इकाई है

$(C)$ स्पर्श रेखाएं $T_1$ एवं $T_2, x$-अक्ष को बिंदु $(-3,0)$ पर मिलती हैं

$(D)$ स्पर्श रेखाएं $T_1$ एवं $T_2, x$-अक्ष को बिंदु $(-6,0)$ पर मिलती हैं

मान लीजिए $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,a > b$, एक दीर्घवृत है जिसकी नाभियाँ $F_1$ एवं $F_2$ हैं। $A O$ इसकी अर्धलघु $(semi-minor)$ अक्ष है, और $O$ दीर्घवृत का केंद्र है। रेखाएँ $A F_1$ एवं $A F_2$ को बढ़ाने पर वो दीर्घवृत को पुन: क्रमशः $B$ एवं $C$ बिन्दुओं पर काटती हैं। मान लीजिए कि $A B C$ एक समबाहु त्रिभुज है, तब दीर्घवृत की उत्केन्द्रता निम्न है :

यदि दीर्घवत्त $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ तथा वत्त $x^{2}+y^{2}=4 b$, $b >4$ के प्रतिच्छेदन बिन्दु वक्र $y ^{2}=3 x ^{2}$ पर स्थित हैं, तो $b$ बराबर है

दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ की लम्बवत् स्पर्शियों के प्रतिच्छेद बिन्दु का बिन्दुपथ होगा  

 दीर्घवृत्त  $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ के बिन्दु $'\theta '$ की नाभि से दूरी होगी