frac{{1 + i}}{{1 - i}}के कोणांक तथा मापांक क् | vedclass

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Question

(d) $\frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{1 + i}}{{1 - i}} 	imes \frac{{1 + i}}{{1 + i}} = \frac{{{{(1 + i)}^2}}}{2}$

अब $1 + i = r(\cos 	heta

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$\frac{\pi }{2}$ तथा $1$

Vedclass · Answer

(d) $\frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{1 + i}}{{1 - i}} 	imes \frac{{1 + i}}{{1 + i}} = \frac{{{{(1 + i)}^2}}}{2}$

अब $1 + i = r(\cos 	heta  + i\sin 	heta ) \Rightarrow r\cos 	heta  = 1,r\sin 	heta  = 1$

 $&rArr; r = \sqrt 2 ,	heta  = \pi /4$

 $	herefore $  $1 + i = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} ight)$

$ \Rightarrow \,$ $\frac{1}{2}\,{(1 + i)^2} = \frac{1}{2}\,.\,2\,{\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\,\sin \frac{\pi }{4}} ight)^2}$

डी मोयवर प्रमेय से, $\left( {\cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}} ight)$

अत: कोणांक $\frac{\pi }{2}$ एवं मापांक $1$ है

 ट्रिक : $arg{m{ }}\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} ight) = arg(1 + i) - arg(1 - i)$

  $ = {45^o} - ( - {45^o}) = {90^o}$

  $\left| {\,\frac{{1 + i}}{{1 - i}}\,} ight|\, = \frac{{\left| {\,1 + i\,} ight|}}{{\left| {\,1 - i\,} ight|}}\, = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 1$.

$\frac{{1 + i}}{{1 - i}}$के कोणांक तथा मापांक क्रमश: हैं

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