frac{{1 + i}}{{1 - i}}के कोणांक तथा मापांक क् | vedclass

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Question

(d) $\frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{1 + i}}{{1 - i}} 	imes \frac{{1 + i}}{{1 + i}} = \frac{{{{(1 + i)}^2}}}{2}$

अब $1 + i = r(\cos 	heta

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$\frac{\pi }{2}$ तथा $1$

Vedclass · Answer

(d) $\frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{1 + i}}{{1 - i}} 	imes \frac{{1 + i}}{{1 + i}} = \frac{{{{(1 + i)}^2}}}{2}$

अब $1 + i = r(\cos 	heta  + i\sin 	heta ) \Rightarrow r\cos 	heta  = 1,r\sin 	heta  = 1$

 $&rArr; r = \sqrt 2 ,	heta  = \pi /4$

 $	herefore $  $1 + i = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} ight)$

$ \Rightarrow \,$ $\frac{1}{2}\,{(1 + i)^2} = \frac{1}{2}\,.\,2\,{\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\,\sin \frac{\pi }{4}} ight)^2}$

डी मोयवर प्रमेय से, $\left( {\cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}} ight)$

अत: कोणांक $\frac{\pi }{2}$ एवं मापांक $1$ है

 ट्रिक : $arg{m{ }}\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} ight) = arg(1 + i) - arg(1 - i)$

  $ = {45^o} - ( - {45^o}) = {90^o}$

  $\left| {\,\frac{{1 + i}}{{1 - i}}\,} ight|\, = \frac{{\left| {\,1 + i\,} ight|}}{{\left| {\,1 - i\,} ight|}}\, = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 1$.

$\frac{{1 + i}}{{1 - i}}$के कोणांक तथा मापांक क्रमश: हैं

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किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं ${z_1}$,${z_2}$तथा वास्तविक संख्याओं $a$ तथा $b$ के लिये $|(a{z_1} - b{z_2}){|^2} + |(b{z_1} + a{z_2}){|^2} = $

यदि $z_{1}, z_{2}$ तथा $z_{3}, z_{4}$ सम्मिश्र संयुग्मी संख्याओं के दो युग्म हैं, तो- $\arg \left(\frac{z_{1}}{z_{4}}\right)+\arg \left(\frac{z_{2}}{z_{3}}\right)$ बराबर है

यदि $z$ व $\omega $ दो अशून्य सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हों, कि $|z\omega |\, = 1$ तथा $arg(z) - arg(\omega ) = \frac{\pi }{2}$ हो, तब $\bar z\omega $ का मान है

यदि $|z|\, = 1$ तथा $\omega = \frac{{z - 1}}{{z + 1}}$ (जहाँ $z \ne - 1)$, तब ${\mathop{\rm Re}\nolimits} (\omega )$का मान होगा

यदि ${z_1}.{z_2}........{z_n} = z,$ हो, तब $arg\,{z_1} + arg\,{z_2} + ....$+$arg{z_n}$और $arg\,z$ का अन्तर होगा