यदि {z_1} तथा {z_2}दो अशून्य सम्मिश्र स | vedclass

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Question

(d) माना${z_1} = {r_1}$$(\cos {	heta _1} + i\sin {	heta _1})$,${z_2} = {r_2}$ $(\cos {	heta _2} + i\sin {	heta _2})$ 

$	herefore $$|{z_1}

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$0$

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(d) माना${z_1} = {r_1}$$(\cos {	heta _1} + i\sin {	heta _1})$,${z_2} = {r_2}$ $(\cos {	heta _2} + i\sin {	heta _2})$ 

$	herefore $$|{z_1} + {z_2}| = [{({r_1}\cos {	heta _1} + {r_2}\cos {	heta _2})^2}$$ + {({r_2}\sin {	heta _1} + {r_2}\sin {	heta _2})^2}{]^{1/2}}$

$ = {[r_1^2 + r_2^2 + 2{r_1}{r_2}\cos ({	heta _1} - {	heta _2})]^{1/2}} = {[{({r_1} + {r_2})^2}]^{1/2}}$

$|{z_1} + {z_2}|\, = \,|{z_1}| + |{z_2}|$

इसलिए $\cos ({	heta _1} - {	heta _2}) = 1 \Rightarrow {	heta _1} - {	heta _2} = 0 \Rightarrow {	heta _1} = {	heta _2}$

इस प्रकार $arg$ $({z_1}) - arg({z_2}) = 0$

ट्रिक : $|{z_1} + {z_2}|\, = \,|{z_1}| + |{z_2}| \Rightarrow {z_1},{z_2}$

एक ही रेखा पर स्थित हैं। 

$	herefore arg\,{z_1} = arg\,{z_2} \Rightarrow arg\,{z_1} - arg\,{z_2} = 0$.

List $I$	List $II$
$P.$ प्रत्येक $z _{ k }$ के लिए एक ऐसा $z _{ j }$ है जिसके लिये $z _{ k } \cdot z _{ j }=1$	$1.$ सत्य
$Q.$ $\{1,2, \ldots, 9\}$ में एक ऐसा $k$ है कि $z _1 . z = z _{ k }$ का कोई हल $z$ सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) में नहीं है	$2.$ असत्य
$R.$ $\frac{\left\|1-z_1\right\|\left\|1-z_2\right\| \ldots . . .\left\|1-z_9\right\|}{10}$ का मान है-	$3.$ $1$
$S.$ $1-\sum_{ k =1}^9 \cos \left(\frac{2 k \pi}{10}\right)$ का मान है-	$4.$ $2$

यदि ${z_1}$ तथा ${z_2}$दो अशून्य सम्मिश्र संख्याएँ ऐसी हों कि $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$ हो, तब कोणांक $({z_1}) - $कोणांक $({z_2})$ का मान है

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