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यदि ${z_1}$ तथा ${z_2}$दो अशून्य सम्मिश्र संख्याएँ ऐसी हों कि $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$ हो, तब कोणांक $({z_1}) - $कोणांक $({z_2})$ का मान है
$ - \pi $
$ - \frac{\pi }{2}$
$\frac{\pi }{2}$
$0$
Solution
(d) माना${z_1} = {r_1}$$(\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1})$,${z_2} = {r_2}$ $(\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2})$
$\therefore $$|{z_1} + {z_2}| = [{({r_1}\cos {\theta _1} + {r_2}\cos {\theta _2})^2}$$ + {({r_2}\sin {\theta _1} + {r_2}\sin {\theta _2})^2}{]^{1/2}}$
$ = {[r_1^2 + r_2^2 + 2{r_1}{r_2}\cos ({\theta _1} – {\theta _2})]^{1/2}} = {[{({r_1} + {r_2})^2}]^{1/2}}$
$|{z_1} + {z_2}|\, = \,|{z_1}| + |{z_2}|$
इसलिए $\cos ({\theta _1} – {\theta _2}) = 1 \Rightarrow {\theta _1} – {\theta _2} = 0 \Rightarrow {\theta _1} = {\theta _2}$
इस प्रकार $arg$ $({z_1}) – arg({z_2}) = 0$
ट्रिक : $|{z_1} + {z_2}|\, = \,|{z_1}| + |{z_2}| \Rightarrow {z_1},{z_2}$
एक ही रेखा पर स्थित हैं।
$\therefore arg\,{z_1} = arg\,{z_2} \Rightarrow arg\,{z_1} – arg\,{z_2} = 0$.
