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$3 n$ संख्याओं का एक समुच्चय है, जिसका प्रसरण $4$ है। इस समुच्चय में, प्रथम $2 n$ संख्याओं का माध्य $6$ है तथा शेष $n$ संख्याओं का माध्य $3$ है। प्रथम $2 n$ संख्याओं में प्रत्येक में $1$ जोड़कर तथा शेष $n$ संख्याओं में प्रत्येक से $1$ घटा कर एक नया समुच्चय बनाया गया है। यदि नये समुच्चय का प्रसरण $k$ है, तो $9 k$ बराबर .............. है ।
$76$
$68$
$82$
$56$
Solution
Let number be $a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots \ldots a _{2 n }, b _{1}, b _{2}, b _{3} \ldots b _{ n }$
$\sigma^{2}=\frac{\sum a^{2}+\sum b^{2}}{3 n}-(5)^{2}$
$\Rightarrow \sum a^{2}+\sum b^{2}=87 n$
Now, distribution becomes
$a _{1}+1, a _{2}+1, a _{3}+1, \ldots \ldots a _{2 n }+1, b _{1}-1,b_{2}-1 \ldots \ldots b_{n}-1$
Variance
$=\frac{\sum(a+1)^{2}+\sum(b-1)^{2}}{3 n}-\left(\frac{12 n+2 n+3 n-n}{3 n}\right)^{2}$
$=\frac{\left(\sum a^{2}+2 n+2 \sum a\right)+\left(\sum b^{2}+n-2 \sum b\right)}{3 n}$
$=\frac{\left(\sum a^{2}+2 n+2 \sum a\right)+\left(\sum b^{2}+n-2 \sum b\right)}{3 n}-\left(\frac{16}{3}\right)^{2}$
$=\frac{87 n+3 n+2(12 n)-2(3 n)}{3 n}-\left(\frac{16}{3}\right)^{2}$
$\Rightarrow k=\frac{108}{3}-\left(\frac{16}{5}\right)^{2}$
$\Rightarrow 9 k=3(108)-(16)^{2}=324-256=68$
