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अतिपरवलय (hyperbola)
$\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$
पर विचार कीजिए जिसकी नाभियाँ (foci) $S$ एवं $S _1$ पर हैं, जहाँ $S$ धनात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है। माना कि $P$ प्रथम चतुर्थाश (first quadrant) में अतिपरवलय पर एक बिंदु है। माना कि $\angle SPS _1=\alpha$ है, जहाँ $\alpha<\frac{\pi}{2}$ है। बिन्दु $S$ से जाने वाली सरल रेखा, जिसकी ढाल (slope) अतिपरवलय के बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा (tangent) के ढाल के बराबर है, सरल रेखा $S _1 P$ को $P _1$ पर प्रतिच्छेदित (intersect) करती है। माना कि $P$ की सरल रेखा $SP _1$ से दूरी $\delta$ है, एवं $\beta= S _1 P$ है। तब $\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2}$ से कम या बराबर महत्तम पूर्णांक (greatest integer less than or equal to). . . . . . . . . है।
$5$
$6$
$7$
$8$
Solution
$S_1 P-S P=20$
$\beta-\frac{\delta}{\sin \frac{\alpha}{2}}=20$
$\beta^2+\frac{\delta^2}{\sin ^2 \frac{\alpha}{2}}-400=\frac{2 \beta \delta}{\sin \frac{\alpha}{2}}$
$\frac{1}{ SP }=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\delta}$
$\cos \alpha=\frac{ SP ^2+\beta^2-656}{2 \beta \frac{\delta}{\sin \frac{\alpha}{2}}}$
$=\frac{\frac{2 \beta \delta}{\sin \frac{\alpha}{2}}-256}{\frac{2 \beta S}{\sin \frac{\alpha}{2}}}=\cos \alpha$
$\frac{\lambda-128}{\lambda}=\cos \alpha$
$\lambda(1-\cos \alpha)=128$
$\frac{\beta \delta}{\sin \frac{\alpha}{2}} \cdot 2 \sin ^2 \frac{\alpha}{2}=128$
$\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2}=\frac{64}{9} \Rightarrow\left[\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2}\right]=7 \text { where [.] denotes greatest integer function }$
