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द्विघात समीकरण $n x^2+7 \sqrt{n} x+n=0$ में $n$ एक धनात्मक पूर्णांक संख्या है. निम्नलिखित में कौन सा कधन निध्रित रूप से सत्य है ?
$I$. किसी भी $n$ के लिए, समीकरण के मूल भिन्न होंगे,
$II$. $n$ के अन्नत मान होंगे यदि दोनों मूल वास्तबिक है.
$III$. मूलों का गुणनफल निश्रय ही एक पूर्णांक है.
केवल $III$
केवल $I$ तथा $III$
केवल $II$ तथा $III$
$I,II$ तथा $III$
Solution
(b)
Given, $n x^2+7 \sqrt{n} x+n=0$ $D=49 n-4 n^2=n(49-4 n)$ $D \neq 0 ; \quad \therefore \forall n \in I^{+}$
$\therefore$ Roots are distinct.
For roots are real $D \geq 0$
$\therefore \quad n(49-4 n) \geq 0 \Rightarrow n \leq \frac{49}{4}$
So, $n \in\{1,2,3,4, \ldots, 12\}$
So, $x$ have finite value.
Product of roots is $\frac{n}{n}=1$
$\therefore$ Products of root is necessarily integer.
Hence, option $(b)$ is correct.
