ऐसी दो सरल रेखाओं (straight lines) पर विचार कीजिये, जिनमें से प्रत्येक, वृत्त (circle) $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ और परवलय (parabola) $y^2=4 x$ दोनों पर ही स्पर्शी (tangent) है। माना कि ये रेखाएं बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद (intersect) करती हैं। एक ऐसे दीर्घवृत्त (ellipse) पर विचार कीजिये जिसका केंद्र (centre) मूलर्बिंदु (origin) $O(0,0)$ पर है और जिसका अर्ध-दीर्घाक्ष (semi-major axis) $O Q$ है। यदि इस दीर्घवृत के लघु अक्ष (minor axis) की लम्बाई $\sqrt{2}$ है, तब निम्नलिखित में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?

$(A)$ दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता (eccentricity) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है और नाभिलम्ब जीवा (latus rectum) की लम्बाई 1 है

$(B)$ दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ है और नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई $\frac{1}{2}$ है

$(C)$ रेखाओं $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ व $x=1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध (bounded) क्षेत्र (region) का क्षेत्रफल (area) $\frac{1}{4 \sqrt{2}}(\pi-2)$ है

$(D)$ रेखाओं $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ व $x=1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{16}(\pi-2)$ है

दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ के केन्द्र से इसकी किसी स्पर्श रेखा पर डाले गये लम्ब के पाद का बिन्दुपथ है

दीर्घवृत्त  $\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{49}} = 1$ के नाभिलम्ब की लम्बाई होगी

अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ पर दो बिन्दु $P(a\sec \theta ,\;b\tan \theta )$ और  $Q(a\sec \phi ,\;b\tan \phi )$ हैं, जहाँ $\theta  + \phi  = \frac{\pi }{2}$ है। यदि $P$ और $Q$ पर अभिलम्ब एक दूसरे को बिन्दु $(h, k)$ पर काटते हैं, तो $k$ का मान है

माना $\mathrm{C}$ सबसे बड़ा वृत्त है, जिसका केन्द्र $(2,0)$ पर है तथा जो दीर्घवृत $\frac{\mathrm{x}^2}{36}+\frac{\mathrm{y}^2}{16}=1$ के अंतर्गत है। यदि बिन्दु $(1, \alpha)$ वृत्त $C$ पर है, तो $10 \alpha^2$ बराबर है_______________. 

माना कि $F_1\left(x_1, 0\right)$ और $F_2\left(x_2, 0\right)$ (जिसमें $x_1<0, x_2>0$ ) दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{x_2^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ की नाभियाँ (Foci) हैं। माना कि एक परवलय (parabola) जिसका शीर्ष (vertex) मूलबिन्दु (origin) पर और नाभि (focus) $F_2$ पर है, दीर्घवृत्त को प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में $M$ पर और चतुर्थ चतुर्थांश (fourth quadrant) में $N$ पर प्रतिच्छेदित करता है।

($1$) त्रिभुज $F_1 M N$ का लंबकेन्द्र (orthocentre) है

$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right).$

($2$) यदि दीर्घवृत्त के बिन्दुओं $M$ और $N$ पर स्परिखाएँ (tangents) $R$ पर मिलती हैं और परवलय के बिन्दु $M$ पर अभिलंब $x$-अक्ष को $Q$ पर मिलता है, तब त्रिभुज $M Q R$ के क्षेत्रफल और चतुर्भुज (quadrilateral) $M F_1 N F_2$ के क्षेत्रफल का अनुपात (ratio) है

$(A)$ $3: 4$  $(B)$ $4: 5$  $(C)$ $\sec 5: 8$  $(D)$ $2: 3$

दिये गए सवाल का जवाब दीजिये ($1$) और ($2$)