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ऐसी दो सरल रेखाओं (straight lines) पर विचार कीजिये, जिनमें से प्रत्येक, वृत्त (circle) $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ और परवलय (parabola) $y^2=4 x$ दोनों पर ही स्पर्शी (tangent) है। माना कि ये रेखाएं बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद (intersect) करती हैं। एक ऐसे दीर्घवृत्त (ellipse) पर विचार कीजिये जिसका केंद्र (centre) मूलर्बिंदु (origin) $O(0,0)$ पर है और जिसका अर्ध-दीर्घाक्ष (semi-major axis) $O Q$ है। यदि इस दीर्घवृत के लघु अक्ष (minor axis) की लम्बाई $\sqrt{2}$ है, तब निम्नलिखित में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?
$(A)$ दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता (eccentricity) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है और नाभिलम्ब जीवा (latus rectum) की लम्बाई 1 है
$(B)$ दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ है और नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई $\frac{1}{2}$ है
$(C)$ रेखाओं $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ व $x=1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध (bounded) क्षेत्र (region) का क्षेत्रफल (area) $\frac{1}{4 \sqrt{2}}(\pi-2)$ है
$(D)$ रेखाओं $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ व $x=1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{16}(\pi-2)$ है
$A,B$
$A,D$
$A,C$
$A,B,C$
Solution
Eq. of tangent to $y^2=4 x$ is
$y = mx +\frac{1}{ m }$
Eq. of tangent to $x^2+y^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$ is
$y=m x \pm \frac{\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{2}}$
Comparing (1) and (2), we get $m ^2=1 \Rightarrow m = \pm 1$
$\therefore Q \equiv(-1,0)$
$\therefore$ Eq. of ellipse is $\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{1}{2}\right)}=1$
Eccentricity $=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Length of latus rectum $=2 \cdot \frac{1}{2}=1$
$\text { Area } =2 \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1 \sqrt{\frac{1-x^2}{2}} d x$
$=\sqrt{2}\left[\frac{x}{2} \sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2} \sin ^{-1}(x)\right]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1=\frac{(\pi-2)}{4 \sqrt{2}}$
