एक गुणोत्तर श्रेणी को ज्ञात कीजिए, जिसके प्रथम दो पदों का योगफल $-4$ है तथा $5$ वाँ पद तृतीय पद का $4$ गुना है।
एक गुणोत्तर श्रेणी को ज्ञात कीजिए, जिसके प्रथम दो पदों का योगफल $-4$ है तथा $5$ वाँ पद तृतीय पद का $4$ गुना है।
Let $a$ be the first term and $r$ be the common ratio of the $G.P.$
According to the given conditions,
$A_{2}=-4=\frac{a\left(1-r^{2}\right)}{1-r}$ .......$(1)$
$a_{5}=4 \times a_{3}$
$\Rightarrow a r^{4}=4 a r^{2} \Rightarrow r^{2}=4$
$\therefore r=\pm 2$
From $(1),$ we obtain
$-4=\frac{a\left[1-(2)^{2}\right]}{1-2}$ for $r=2$
$\Rightarrow-4=\frac{a(1-4)}{-1}$
$\Rightarrow-4=a(3)$
$\Rightarrow a=\frac{-4}{3}$
Also, $-4=\frac{a\left[1-(-2)^{2}\right]}{1-(-2)}$ for $r=-2$
$\Rightarrow-4=\frac{a(1-4)}{1+2}$
$\Rightarrow-4=\frac{a(-3)}{3}$
$\Rightarrow a=4$
Thus, the required $G.P.$ is $\frac{-4}{3}, \frac{-8}{3}, \frac{-16}{3}, \ldots$ or $4,-8,-16,-32 \ldots$
Similar Questions
यदि $3 + 3\alpha + 3{\alpha ^2} + .........\infty = \frac{{45}}{8}$, तो $\alpha $ का मान होगा
यदि $3 + 3\alpha + 3{\alpha ^2} + .........\infty = \frac{{45}}{8}$, तो $\alpha $ का मान होगा
गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
$\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}, \ldots n$ पदों तक
गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
$\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}, \ldots n$ पदों तक
माना ${a_n}$ धनात्मक संख्याओं की गुणोत्तर श्रेणी का $n$ वाँ पद है। माना $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = \alpha $ व $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n - 1}}} = \beta $ इस प्रकार हैं कि $\alpha \ne \beta $, तो सार्वअनुपात है
माना ${a_n}$ धनात्मक संख्याओं की गुणोत्तर श्रेणी का $n$ वाँ पद है। माना $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = \alpha $ व $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n - 1}}} = \beta $ इस प्रकार हैं कि $\alpha \ne \beta $, तो सार्वअनुपात है
- [IIT 1992]
श्रेणी $3 + 4\frac{1}{2} + 6\frac{3}{4} + ......$ के पाँच पदों का योग होगा
श्रेणी $3 + 4\frac{1}{2} + 6\frac{3}{4} + ......$ के पाँच पदों का योग होगा
माना $x ^{2}-3 x + p =0$ के मूल $\alpha$ तथा $\beta$ एवं $x ^{2}-6 x + q =0$ के मूल $\gamma$ तथा $\delta$ है। यदि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ गुणोत्तर श्रेढ़ी के रूप में है। तब अनुपात $(2 q+p):(2 q-p)$ होगा
माना $x ^{2}-3 x + p =0$ के मूल $\alpha$ तथा $\beta$ एवं $x ^{2}-6 x + q =0$ के मूल $\gamma$ तथा $\delta$ है। यदि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ गुणोत्तर श्रेढ़ी के रूप में है। तब अनुपात $(2 q+p):(2 q-p)$ होगा
- [JEE MAIN 2020]