જો $(1+x)^{m}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{2}$ નો સહગુણક $6$ હોય, તો $m$ નું ધન મૂલ્ય શોધો.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

It is known that $(r+1)^{th}$ term, $\left(T_{r+1}\right),$ in the binomial expansion of $(a+b)^{n}$ is given by

${T_{r + 1}} = {\,^n}{C_r}{a^{n - r}}{b^r}$

Assuming that $x^{2}$ occurs in the $(r+1)^{\text {th }}$ term of the expansion of $(1+x)^{m}$, we obtain

${T_{r + 1}} = {\,^m}{C_r}{(1)^{m - r}}{(x)^r} = {\,^m}{C_r}{(x)^r}$

Comparing the indices of $x$ in $x^{2}$ and in $T_{r+1},$ we obtain $r=2$

Therefore, the coefficient of $x^{2}$ is $^{m} C_{2}$

It is given that the coefficient of $x^{2}$ in the expansion $(1+x)^{m}$ is $6$

$\therefore {\,^m}{C_2} = 6$

$\Rightarrow \frac{m !}{2 !(m-2) !}=6$

$\Rightarrow \frac{m(m-1)(m-2) !}{2 \times(m-2) !}=6$

$\Rightarrow m(m-1)=12$

$\Rightarrow m^{2}-m-12=0$

$\Rightarrow m^{2}-4 m+3 m-12=0$

$\Rightarrow m(m-4)+3(m-4)=0$

$\Rightarrow(m-4)(m+3)=0$

$\Rightarrow(m-4)=0$ or $(m+3)=0$

$\Rightarrow m=4$ or $m=-3$

Thus, the positive value of $m$, for which the coefficient of $x^{2}$ in the expansion $(1+x)^{m}$ is $6.$ is $4$

Similar Questions

$\left(1-x^{2}+3 x^{3}\right)\left(\frac{5}{2} x^{3}-\frac{1}{5 x^{2}}\right)^{11}, x \neq 0$ ના વિસ્તરણમાં $x$ થી સ્વતંત્ર હોય તેવું પદ.................. છે

  • [JEE MAIN 2022]

$\left(1-x+2 x^3\right)^{10}$ માં $x^7$ સહગુણક $...............$ છે.

  • [JEE MAIN 2023]

જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય , તો ${(1 + x)^n}$ ના વિસ્તરણમાં મહતમ પદને મહતમ સહગુણક હોય તો . . . .

${(a + b)^n}$ ના વિસ્તરણમાં ચોથાપદ નો સહગુણક 56 હોય, તો $n$ મેળવો.

 $\left( {1 - \frac{1}{x} + 3{x^5}} \right){\left( {2{x^2} - \frac{1}{x}} \right)^8}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ પર આધારિત ન હોય તેવું પદ મેળવો. 

  • [JEE MAIN 2015]