દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી $(1+2 a)^{4}(2-a)^{5}$ ના ગુણાકારમાં $a^{4}$ નો સહગુણક શોધો.
We first expand each of the factors of the given product using Binomial Theorem. We have
${(1 + 2a)^4} = {\,^4}{C_0} + {\,^4}{C_1}(2a) + {\,^4}{C_2}{(2a)^2} + {\,^4}{C_3}{(2a)^3} + {\,^4}{C_4}{(2a)^4}$
$=1+4(2 a)+6\left(4 a^{2}\right)+4\left(8 a^{3}\right)+16 a^{4}$
$=1+8 a+24 a^{2}+32 a^{3}+16 a^{4}$
and ${(2 - a)^5} = {\,^5}{C_0}{(2)^5} - {\,^5}{C_1}{(2)^4}(a) + {\,^5}{C_2}{(2)^3}{(a)^2} - {\,^5}{C_3}{(2)^2}{(a)^3}$
$ + {\,^5}{C_4}(2){(a)^4} - {\,^5}{C_5}{(a)^5}$
$=32-80 a+80 a^{2}-40 a^{3}+10 a^{4}-a^{5}$
Thus $(1+2 a)^{4}(2-a)^{5}$
$=\left(1+8 a+24 a^{2}+32 a^{3}+16 a^{4}\right)$
$\left(32-80 a+80 a^{2}-40 a^{3}+10 a^{4}-a^{5}\right)$
The complete multiplication of the two brackets need not be carried out. We write only those terms which involve $a^{4}$. This can be done if we note that ${a^r}.{a^{4 - r}} = {a^4}.$ The terms containing $a^{4}$ are
$1\left(10 a^{4}\right)+(8 a)\left(-40 a^{3}\right)+\left(24 a^{2}\right)\left(80 a^{2}\right)+\left(32 a^{3}\right)(-80 a)+\left(16 a^{4}\right)(32)=-438 a^{4}$
ધારો કે $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં ચાર ક્રમિક પદોના સહગુણકો $2-p, p, 2-\alpha, \alpha$ છે. તો $p^2-\alpha^2+6 \alpha+2 p$ નું મૂલ્ય.................... છે.
${\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{2}{x}} \right)^9}$ ના વિસ્તરણમાં ${x^{-9}}$ નો સહગુણક મેળવો.
$\left(2^{1 / 3}+3^{1 / 4}\right)^{12}$ ના વિસ્તરણમાં સંમેય પદોનો સરવાળો મેળવો.
સમીકરણ $(1+x)^{10}+x(1+x)^{9}+x^{2}(1+x)^{8}+\ldots+x^{10}$ માં $x^{7}$ નો સહગુણક મેળવો.
${\left( {1 + x} \right)^{1000}} + x{\left( {1 + x} \right)^{999}} + {x^2}{\left( {1 + x} \right)^{998}} + ..... + {x^{1000}}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{50}$ નો સહગુણક મેળવો.