દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી $(1+2 a)^{4}(2-a)^{5}$ ના ગુણાકારમાં $a^{4}$ નો સહગુણક શોધો.
We first expand each of the factors of the given product using Binomial Theorem. We have
${(1 + 2a)^4} = {\,^4}{C_0} + {\,^4}{C_1}(2a) + {\,^4}{C_2}{(2a)^2} + {\,^4}{C_3}{(2a)^3} + {\,^4}{C_4}{(2a)^4}$
$=1+4(2 a)+6\left(4 a^{2}\right)+4\left(8 a^{3}\right)+16 a^{4}$
$=1+8 a+24 a^{2}+32 a^{3}+16 a^{4}$
and ${(2 - a)^5} = {\,^5}{C_0}{(2)^5} - {\,^5}{C_1}{(2)^4}(a) + {\,^5}{C_2}{(2)^3}{(a)^2} - {\,^5}{C_3}{(2)^2}{(a)^3}$
$ + {\,^5}{C_4}(2){(a)^4} - {\,^5}{C_5}{(a)^5}$
$=32-80 a+80 a^{2}-40 a^{3}+10 a^{4}-a^{5}$
Thus $(1+2 a)^{4}(2-a)^{5}$
$=\left(1+8 a+24 a^{2}+32 a^{3}+16 a^{4}\right)$
$\left(32-80 a+80 a^{2}-40 a^{3}+10 a^{4}-a^{5}\right)$
The complete multiplication of the two brackets need not be carried out. We write only those terms which involve $a^{4}$. This can be done if we note that ${a^r}.{a^{4 - r}} = {a^4}.$ The terms containing $a^{4}$ are
$1\left(10 a^{4}\right)+(8 a)\left(-40 a^{3}\right)+\left(24 a^{2}\right)\left(80 a^{2}\right)+\left(32 a^{3}\right)(-80 a)+\left(16 a^{4}\right)(32)=-438 a^{4}$
$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{2 \sqrt[3]{x}}\right)^{18}$ ના વિસ્તરણનું $x$ થી સ્વતંત્ર પદ(અચળ પદ) શોધો.
${\left( {2{x^2} - \frac{1}{x}} \right)^{12}}$ ના વિસ્તરણમાં અચળપદ કેટલામું હશે. ?
જો $\alpha>0, \beta>0$ એવા મળે કે જેથી $\alpha^{3}+\beta^{2}=4$ થાય અને $\left(\alpha x^{\frac{1}{9}}+\beta x^{-\frac{1}{6}}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ થી સ્વત્રંત પદ $10 k$ થાય તો $\mathrm{k}$ ની કિમત મેળવો
${(1 + x)^n}{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n}$ ના વિસ્તરણમાં $\frac{1}{x}$ નો સહગુણક મેળવો.