આપેલ ઉપવલય માટે નાભિના યામ, શિરોબિંદુઓ તથા પ્રધાન અક્ષ તથા ગૌણ અક્ષની લંબાઈ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધોઃ
$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^2} {16}=1$
આપેલ ઉપવલય માટે નાભિના યામ, શિરોબિંદુઓ તથા પ્રધાન અક્ષ તથા ગૌણ અક્ષની લંબાઈ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધોઃ
$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^2} {16}=1$
The given equation is $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$
Here, the denominator of $\frac{x^{2}}{36}$ is greater than the denominator of $\frac{y^{2}}{16}$
Therefore, the major axis is along the $x-$ axis, while the minor axis is along the $y-$ axis
On comparing the given equation with $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,$ we obtain $a=6$ and $b=4$
$\therefore c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5}$
Therefore,
The coordinates of the foci are $(2 \sqrt{5}, 0)$ and $(-2 \sqrt{5}, 0)$
The coordinates of the vertices are $(6,\,0)$ and $(-6,\,0)$
Length of major axis $=2 a=12$
Length of minor axis $=2 b=8$
Eccentricity, $e=\frac{c}{a}=\frac{2 \sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
Length of latus rectum $=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2 \times 16}{6}=\frac{16}{3}$
Similar Questions
ઉપવલય ${x^2} + 4{y^2} = 4$ એ અક્ષોને સમાંતર લંબચોરસને અંદર સ્પર્શે છે.જો આ લંબચોરસ એ બિંદુ $(4,0) $ માંથી પસાર થતા બીજા ઉપવલયને અંદરથી સ્પશતું હોય તેા આ ઉપવલયનું સમીકરણ મેળવો.
ઉપવલય ${x^2} + 4{y^2} = 4$ એ અક્ષોને સમાંતર લંબચોરસને અંદર સ્પર્શે છે.જો આ લંબચોરસ એ બિંદુ $(4,0) $ માંથી પસાર થતા બીજા ઉપવલયને અંદરથી સ્પશતું હોય તેા આ ઉપવલયનું સમીકરણ મેળવો.
- [AIEEE 2009]
જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ તથા એક નિયામિકા $x=4$ હોય તેવા ઊગમબિંદુ કેન્દ્ર હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ મેળવો.
જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ તથા એક નિયામિકા $x=4$ હોય તેવા ઊગમબિંદુ કેન્દ્ર હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ મેળવો.
- [AIEEE 2004]
જો ઉંગમબિંદુ કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલયની પ્રધાનઅક્ષ અને ગૌણઅક્ષની લંબાઈનો તફાવત $10$ અને એક નાભી $(0, 5\sqrt 3 )$ હોય તો નાભીલંબની લંબાઈ .......... થાય
જો ઉંગમબિંદુ કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલયની પ્રધાનઅક્ષ અને ગૌણઅક્ષની લંબાઈનો તફાવત $10$ અને એક નાભી $(0, 5\sqrt 3 )$ હોય તો નાભીલંબની લંબાઈ .......... થાય
- [JEE MAIN 2019]
ઉપવલયની ઉકેન્દ્રિતા $\frac{1}{2}$ અને એક નાભિના યામ $P\left( {\frac{1}{2},\;1} \right)$ છે.જો બિંદુ $P$ ની નજીકની એક નિયામીકા એ વર્તૂળ ${x^2} + {y^2} = 1$ અને અતિવલય ${x^2} - {y^2} = 1$ નો સામાન્ય સ્પર્શક બને છે ,તો ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ મેળવો.
ઉપવલયની ઉકેન્દ્રિતા $\frac{1}{2}$ અને એક નાભિના યામ $P\left( {\frac{1}{2},\;1} \right)$ છે.જો બિંદુ $P$ ની નજીકની એક નિયામીકા એ વર્તૂળ ${x^2} + {y^2} = 1$ અને અતિવલય ${x^2} - {y^2} = 1$ નો સામાન્ય સ્પર્શક બને છે ,તો ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ મેળવો.
- [IIT 1996]
જો $\alpha$ અને $\beta$ એ ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ની નાભિજીવાના અંત્યબિંદુઓના ઉત્કેન્દ્રીકરણ હોય, તો $tan\ \alpha /2. tan\ \beta/2 = ....$
જો $\alpha$ અને $\beta$ એ ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ની નાભિજીવાના અંત્યબિંદુઓના ઉત્કેન્દ્રીકરણ હોય, તો $tan\ \alpha /2. tan\ \beta/2 = ....$