अतिपरवलयों के शीर्षों, नाभियों के निर्देशांक, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए
$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$
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The given equation is $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ or $\frac{x^{2}}{4^{2}}-\frac{y^{2}}{3^{2}}=1$
On comparing this equation with the standard equation of hyperbola i.e., $\frac{ x ^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,$ we obtain $a=4$ and $b=3$.
We known that $a^{2}=b^{2}+c^{2}$
$\therefore c^{2}=4^{2}+3^{2}=25$
$\Rightarrow c=5$
Therefore,
The coordinates of the foci are $(±5,\,0)$
The coordinates of the vertices are $(±4,\,0)$
Eccentricity, $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}$
Length of latus rectum $=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2 \times 9}{4}=\frac{9}{2}$
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यदि किसी अतिपरवलय की उत्केन्द्रता तथा इसकी संयुग्मी की उत्केन्द्रता क्रमश: $e$ तथा $e’$ हो, तो
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शांकवों $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ तथा $\frac{{{y^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण है
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माना $a$ तथा $b$ क्रमशः, एक अतिपरवलय जिसकी उत्केंद्रता समीकरण $9 e^{2}-18 e+5=0$ को संतुष्ट करती है, के अर्धअनुप्रस्थ अक्ष तथा अर्धसंयुग्मी अक्ष हैं। यदि $S(5,0)$ इस अतिपरवलय की एक नाभि तथा $5 x=9$ संगत नियन्ता (directrix) है, तो $a^{2}-b^{2}$ बराबर है
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एक अतिपरवलय का केंद्र मूल बिंदु पर है, तथा यह बिंदु $(4,2)$ से होकर जाता है और इसका अनुप्रस्थ (transverse) अक्ष, $x$-अक्ष के अनुदिश है जिसकी लम्बाई $4$ है। तो इस अतिपरवलय की उत्कें द्रता (eccentricity) है
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एक अतिपरवलय की नाभियों के बीच की दूरी उसके शीर्षो के बीच की दूरी की दुगनी है और संयुग्मी अक्ष की लम्बाई $6$ है। अतिपरवलय की अक्षों को निर्देशांक अक्ष लेते हुये अतिपरवलय का समीकरण है
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