रेखाओं $ax\sec \theta  + by\tan \theta  = a$ तथा $ax\tan \theta  + by\sec \theta  = b$, जहाँ $\theta $ प्राचल है, के प्रतिच्छेद बिन्दु का बिन्दुपथ है

माना $a$ तथा $b$ धनात्मक वास्तविक संख्यायें इस प्रकार है कि $a >1$ तथा $b < a$ है। माना एक बिन्दु $P$ प्रथम चतुर्थाश में अतिपरवलय पर स्थित है। माना अतिपरवलय के बिन्दु $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा बिन्दु $(1,0)$ से गुजरती है तथा अतिपरवलय के बिन्दु $P$ पर खींचा गया अभिलम्ब निर्देशी अक्षों पर समान अन्त: खण्ड कास्ता है। माना बिन्दु $P$ पर स्पर्श रेखा, बिन्दु $P$ पर अभिलम्ब तथा $x$-अक्ष द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल को $\Delta$ से दर्शाते है। यदि अतिपरवलय की उत्केन्द्रता को $e$ से दर्शाते है, तो निम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सत्य होगा/होंगे ?

$(A)$ $1 < e < \sqrt{2}$

$(B)$ $\sqrt{2} < e < 2$

$(C)$ $\Delta=a^4$

$(D)$ $\Delta=b^4$

 अतिपरवलय $9{x^2} – 16{y^2} + 18x + 32y – 151 = 0$ का केन्द्र है  

अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ का केन्द्र $C$ है। इस अतिपरवलय के किसी भी बिन्दु $P$ पर खींची गयी स्पर्श रेखा, सरल रेखाओं $bx – ay = 0$ व $bx + ay = 0$ को क्रमश: $Q$ व $R$ बिन्दुओं पर मिलती है, तो $CQ\;.\;CR = $

प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए

नाभियाँ $(\pm 5,0),$ अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $8$ है