रेखाओं $(\sqrt{3}) kx + ky -4 \sqrt{3}=0$ तथा $\sqrt{3} x - y -4(\sqrt{3}) k =0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ एक शांकव है, जिसकी उत्केन्द्रता है .......... |

एक अतिपरवलय $H$ के शीर्ष $( \pm 6,0)$ है, तथा उत्केन्द्रता $\frac{\sqrt{5}}{2}$ है। माना प्रथम चतुर्थांश में $\mathrm{H}$ के एक बिन्दु पर रेखा $\sqrt{2} \mathrm{x}+\mathrm{y}=2 \sqrt{2}$ के समान्तर अभिलम्ब $\mathrm{N}$ है। यदि $\mathrm{N}$ के $\mathrm{H}$ तथा $\mathrm{y}$-अक्ष के बीच रेखाखंड की लम्बाई $\mathrm{d}$ है, तो $\mathrm{d}^2$ बराबर है_____________. 

माना परवलय $y ^2=24 x$ के बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा, रेखा $2 x +2 y =5$ के लंबवत है। तो अतिपरवलय $\frac{ x ^2}{\alpha^2}-\frac{ y ^2}{\beta^2}=1$ के बिंदु $(\alpha+4, \beta+4)$ पर अभिलंब किस बिंदु से होकर नहीं जाता ?

अतिपरवलय (hyperbola)

$\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$

पर विचार कीजिए जिसकी नाभियाँ (foci) $S$ एवं $S _1$ पर हैं, जहाँ $S$ धनात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है। माना कि $P$ प्रथम चतुर्थाश (first quadrant) में अतिपरवलय पर एक बिंदु है। माना कि $\angle SPS _1=\alpha$ है, जहाँ $\alpha<\frac{\pi}{2}$ है। बिन्दु $S$ से जाने वाली सरल रेखा, जिसकी ढाल (slope) अतिपरवलय के बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा (tangent) के ढाल के बराबर है, सरल रेखा $S _1 P$ को $P _1$ पर प्रतिच्छेदित (intersect) करती है। माना कि $P$ की सरल रेखा $SP _1$ से दूरी $\delta$ है, एवं $\beta= S _1 P$ है। तब $\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2}$ से कम या बराबर महत्तम पूर्णांक (greatest integer less than or equal to). . . . . . . . . है।

अतिपरवलय  $\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ की नियता है

यदि एक अतिपरवलय के संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) की लंबाई $5$ है तथा इसकी नाभियाँ के बीच की दूरी $13$ है, तो इस अतिपरवलय की उत्केंद्रता है