આપેલ અતિવલય માટે નાભિઓ, શિરોબિંદુઓ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો: $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{27}=1$
આપેલ અતિવલય માટે નાભિઓ, શિરોબિંદુઓ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો: $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{27}=1$
The given equation is $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{27}=1$ or $\frac{y^{2}}{3^{2}}-\frac{x^{2}}{(\sqrt{27})^{2}}=1$
On comparing this equation with the standard equation of hyperbola i.e., $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{ x ^{2}}{b^{2}}=1,$ we obtain $a=3$ and $b=\sqrt{27}$
We known that $a^{2}=b^{2}+c^{2}$
$\therefore c^{2}=3^{2}+(\sqrt{27})^{2}=9+27=36$
$\Rightarrow c=6$
The coordinates of the foci are $(0,\,±6)$
The coordinates of the vertices are $(0,\,±3)$
Eccentricity, $e=\frac{c}{a}=\frac{6}{3}=2$
Length of latus rectum $=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2 \times 27}{3}=18$
Similar Questions
અતિવલય $16x^2 - 9y^2 = 14$ નો નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો.
અતિવલય $16x^2 - 9y^2 = 14$ નો નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો.
અતિવલય $ \,\frac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{{a^2}}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\, - 1\,\,$ ની નાભિલંબાઈ:
અતિવલય $ \,\frac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{{a^2}}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\, - 1\,\,$ ની નાભિલંબાઈ:
$e_{1}$ અને $e_{2}$ એ બે ઉત્કેન્દ્રતાઓ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b<5)$ અને અતિવલય $\frac{ x ^{2}}{16}-\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1$ માટે $e _{1} e _{2}=1$ થાય. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ અનુક્રમે ઉપવલય અને અતિવલયના નાભીઓ વચ્ચેનું અંતર હોય તો $(\alpha, \beta)$ ની જોડની કિમત શોધો.
$e_{1}$ અને $e_{2}$ એ બે ઉત્કેન્દ્રતાઓ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b<5)$ અને અતિવલય $\frac{ x ^{2}}{16}-\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1$ માટે $e _{1} e _{2}=1$ થાય. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ અનુક્રમે ઉપવલય અને અતિવલયના નાભીઓ વચ્ચેનું અંતર હોય તો $(\alpha, \beta)$ ની જોડની કિમત શોધો.
- [JEE MAIN 2020]
ધારો કે અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{5}{4}$ છે. જો આ અતિવલય પરનાં બિંદુ $\left(\frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{12}{5}\right)$ આગળ અભીલંબનું સમીકરણ $8 \sqrt{5} x +\beta y =\lambda$ હોય, તો $\lambda-\beta$ = ............
ધારો કે અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{5}{4}$ છે. જો આ અતિવલય પરનાં બિંદુ $\left(\frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{12}{5}\right)$ આગળ અભીલંબનું સમીકરણ $8 \sqrt{5} x +\beta y =\lambda$ હોય, તો $\lambda-\beta$ = ............
- [JEE MAIN 2022]
જો જેનું કેન્દ્ર ઉંગમબિંદુ હોય તથા બિંદુ $(4, -2\sqrt 3)$ માંથી પસાર થતાં અતિવલયની નિયમિકાનું સમીકરણ $5x = 4\sqrt 5$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $e$ હોય તો ...
જો જેનું કેન્દ્ર ઉંગમબિંદુ હોય તથા બિંદુ $(4, -2\sqrt 3)$ માંથી પસાર થતાં અતિવલયની નિયમિકાનું સમીકરણ $5x = 4\sqrt 5$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $e$ હોય તો ...
- [JEE MAIN 2019]