આપેલ અતિવલય માટે નાભિઓ, શિરોબિંદુઓ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો: $9 y^{2}-4 x^{2}=36$
આપેલ અતિવલય માટે નાભિઓ, શિરોબિંદુઓ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો: $9 y^{2}-4 x^{2}=36$
The given equation is $9 y^{2}-4 x^{2}=36$
It can be written as
$9 y^{2}-4 x^{2}=36$
Or, $\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{9}=1$
Or, $\frac{y^{2}}{2^{2}}-\frac{x^{2}}{3^{2}}=1$ ........... $(1)$
On comparing equation $(1)$ with the standard equation of hyperbola i.e., $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{ x ^{2}}{b^{2}},$ we obtain $a=2$ and $b=3$
We know that $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
$\therefore c^{2}=4+9=13$
$\Rightarrow c=\sqrt{13}$
Therefore,
The coordinates of the foci are $(0, \,\pm \sqrt{13})$
The coordinates of the vertices are $(0,\,±2)$
Eccentricity, $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{2}$
Length of latus rectum $=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2 \times 9}{2}=9$
Similar Questions
અતિવલય $4{x^2} - {y^2} = 36$ ને બિંદુ $P$ અને $Q$ આગળ સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. જો આ સ્પર્શકો બિંદુ $T\left( {0,3} \right)$ આગળ છેદે તો $\Delta PTQ$ નું ક્ષેત્રફળ . . . . . .છે. .
અતિવલય $4{x^2} - {y^2} = 36$ ને બિંદુ $P$ અને $Q$ આગળ સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. જો આ સ્પર્શકો બિંદુ $T\left( {0,3} \right)$ આગળ છેદે તો $\Delta PTQ$ નું ક્ષેત્રફળ . . . . . .છે. .
- [JEE MAIN 2018]
ધારો કે અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ અને ઉપવલય $E: 3 x^{2}+4 y^{2}=12$ એવા છે કે જેથી $H$ ના નાભિલંબની લંબાઈ અને $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ સમાન છ. જો $e_{H}$ અને $e_{E}$ એ અનુક્રમે H અને ઉત્કેન્દ્રતા હોય, તો $12\left(e_{H}^{2}+e_{E}^{2}\right)$ નું મૂલ્ય છે.
ધારો કે અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ અને ઉપવલય $E: 3 x^{2}+4 y^{2}=12$ એવા છે કે જેથી $H$ ના નાભિલંબની લંબાઈ અને $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ સમાન છ. જો $e_{H}$ અને $e_{E}$ એ અનુક્રમે H અને ઉત્કેન્દ્રતા હોય, તો $12\left(e_{H}^{2}+e_{E}^{2}\right)$ નું મૂલ્ય છે.
- [JEE MAIN 2022]
બિંદુ $P\left( {\sqrt 2 ,\sqrt 3 } \right)$ માંથી પસાર થતા અતિવલયની નાભિઓ $\left( { \pm 2,0} \right)$ આગળ છે. તો આ અતિવલયને બિંદુ $P $ આગળનો સ્પર્શક . . . . બિદુંમાંથી પણ પસાર થાય છે. .
બિંદુ $P\left( {\sqrt 2 ,\sqrt 3 } \right)$ માંથી પસાર થતા અતિવલયની નાભિઓ $\left( { \pm 2,0} \right)$ આગળ છે. તો આ અતિવલયને બિંદુ $P $ આગળનો સ્પર્શક . . . . બિદુંમાંથી પણ પસાર થાય છે. .
- [JEE MAIN 2017]
અતિવલય $x^2 - 3y^2 = 1$ ના અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય છે ?
અતિવલય $x^2 - 3y^2 = 1$ ના અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય છે ?
આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો : નાભિઓ $(\pm 4,\,0),$ નાભિલંબની લંબાઈ $12$
આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો : નાભિઓ $(\pm 4,\,0),$ નાભિલંબની લંબાઈ $12$