આપેલ અતિવલય માટે નાભિઓ, શિરોબિંદુઓ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો: $y^{2}-16 x^{2}=16$
આપેલ અતિવલય માટે નાભિઓ, શિરોબિંદુઓ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો: $y^{2}-16 x^{2}=16$
Dividing the equation by $16$ on both sides, we have $\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{1}=1$
Comparing the equation with the standard equation $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,$ we find that $a=4, b=1$ and $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$
Therefore, the coordinates of the foci are $(0, \,\pm \sqrt{17})$ and that of the vertices are $(0,\,\pm 4) .$ Also,
The eccentricity $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{17}}{4} .$
The latus rectum $=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{1}{2}$
Similar Questions
અતિવલય $4x^2 -5y^2 = 20$ ના રેખા $x -y = 2$ ને સમાંતર સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવો.
અતિવલય $4x^2 -5y^2 = 20$ ના રેખા $x -y = 2$ ને સમાંતર સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવો.
- [JEE MAIN 2019]
જો $\left( {{\text{k,}}\,\,{\text{2}}} \right)$ માંથી પસાર થતા અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{9}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\, $ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{{\sqrt {13} }}{3}\,$ હોય,તો ${k^2}\,$ નું મૂલ્ય:
જો $\left( {{\text{k,}}\,\,{\text{2}}} \right)$ માંથી પસાર થતા અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{9}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\, $ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{{\sqrt {13} }}{3}\,$ હોય,તો ${k^2}\,$ નું મૂલ્ય:
એક રેખા $2 x-y=0$ ને સમાંતર રેખા અને અતિવલય $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ ને બિંદુ $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ આગળ સ્પર્શક હોય તો $x_{1}^{2}+5 y_{1}^{2}$ ની કિમત મેળવો
એક રેખા $2 x-y=0$ ને સમાંતર રેખા અને અતિવલય $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ ને બિંદુ $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ આગળ સ્પર્શક હોય તો $x_{1}^{2}+5 y_{1}^{2}$ ની કિમત મેળવો
- [JEE MAIN 2020]
ધારોકે બિંદુ $P (4,1)$ માંથી અતિવલય $H: \frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{16}=1$ પર દોરેલ સ્પર્શકોના ઢાળ $\left| m _1\right|$ અને $\left| m _2\right|$ છે.જો $Q$ એવું બિંદ્દુ હોય કે જેમાથી $H$ પર દોરેલ સ્પર્શકોના ઢાળ $\left| m _1\right|$ અને $\left| m _2\right|$ હોય અને તેનો $x$-અક્ષ પર ધન અંતઃખંડો $\alpha$ અને $\beta$ બનાવે,તો $\frac{(P Q)^2}{\alpha \beta}=........$
ધારોકે બિંદુ $P (4,1)$ માંથી અતિવલય $H: \frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{16}=1$ પર દોરેલ સ્પર્શકોના ઢાળ $\left| m _1\right|$ અને $\left| m _2\right|$ છે.જો $Q$ એવું બિંદ્દુ હોય કે જેમાથી $H$ પર દોરેલ સ્પર્શકોના ઢાળ $\left| m _1\right|$ અને $\left| m _2\right|$ હોય અને તેનો $x$-અક્ષ પર ધન અંતઃખંડો $\alpha$ અને $\beta$ બનાવે,તો $\frac{(P Q)^2}{\alpha \beta}=........$
- [JEE MAIN 2023]
ધારોકે $(3, \alpha)$ બિંદુ પરનો, પરવલય $y ^2=12 x$ નો સ્પર્શક એ રેખા $2 x +2 y =3$ ને લંબ છે. તો અતિવલય $\alpha^2 x ^2-9 y ^2=9 \alpha^2$ ના બિંદુ $(\alpha-1, \alpha+2)$ પરના અભિલંબથી બિંદુ $(6,-4)$ ના અંતરની વર્ગ $........$ થશે.
ધારોકે $(3, \alpha)$ બિંદુ પરનો, પરવલય $y ^2=12 x$ નો સ્પર્શક એ રેખા $2 x +2 y =3$ ને લંબ છે. તો અતિવલય $\alpha^2 x ^2-9 y ^2=9 \alpha^2$ ના બિંદુ $(\alpha-1, \alpha+2)$ પરના અભિલંબથી બિંદુ $(6,-4)$ ના અંતરની વર્ગ $........$ થશે.
- [JEE MAIN 2023]