प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए
केंद्र $(0,0)$ पर, दीर्घ-अक्ष, $y-$अक्ष पर और बिंदुओं $(3,2)$ और $(1,6)$ से जाता है।
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since the centre is at $(0,\,0)$ and the major axis is on the $y-$ axis, the equation of the ellipse will be of the form
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ........... $(1)$
Where, a is the semi-major axis The ellipse passes through points $(3,\,2)$ and $(1,\,6) .$ Hence,
$\frac{9}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}}=1$ ........... $(2)$
$\frac{1}{b^{2}}+\frac{36}{a^{2}}=1$ ........... $(3)$
On solving equations $(2)$ and $(3),$ we obtain $b^{2}=10$ and $a^{2}=40$.
Thus, the equation of the ellipse is $\frac{x^{2}}{10^{2}}+\frac{y^{2}}{40}=1$ or $4 x^{2}+y^{2}=40$
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बिन्दु $(4, -3)$ की दीर्घवृत्त $4{x^2} + 5{y^2} = 1$ के सापेक्ष स्थिति है
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दिये गए दीर्घवृत्त के दोनों शीर्ष तथा नाभि समान दूरी पर स्थित हैं। यदि ऐसे दीर्घवृत्त का अर्ध-लघु अक्ष $2 \sqrt{2}$ है तो अर्ध-दीर्घ अक्ष का मान होगा:
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- [KVPY 2014]
उस दीर्घवृत्त का समीकरण जिसकी नाभियाँ के बीच की दूरी $8$ एवं नियताओं के बीच की दूरी $18$ है, होगा
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मान लीजिए कि $E$ दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{ x ^2}{16}+\frac{ y ^2}{9}=1$ को दर्शाता है। $E$ पर किसी भी तीन भिन्न बिन्दुओं $P , Q$ और $Q ^{\prime}$ के लिए, मान लीजिए कि $M ( P , Q ), P$ और $Q$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड (line segment) का मध्यबिन्दु है, तथा $M \left( P , Q ^{\prime}\right), P$ और $Q ^{\prime}$ को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्यबिन्दु है। जब $P , Q$ और $Q ^{\prime}, E$ पर परिवर्तित होते रहेते है, तब $M ( P , Q )$ और $M ( P , Q )$ के बीच की अधिकतम संभावित दूरी. . . . . .है।
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- [IIT 2021]
प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए
शीर्षों $(\pm 6,0),$ नाभियाँ $(±4,0)$
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