उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसकी दीर्घ अक्ष, $x-$ अक्ष के अनुदिश है और $(4,3)$ तथा $(-1,4)$ दीर्घवृत्त पर स्थित हैं।
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Solution The standard form of the ellipse is $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 .$
since the points $(4,\,3)$ and $(-1,\,4)$ lie on the ellipse, we have
$\frac{16}{a^{2}}+\frac{9}{b^{2}}=1$ ............ $(1)$
and $\frac{1}{a^{2}}+\frac{16}{b^{2}}=1$ ......... $(2)$
Solving equations $(1)$ and $(2),$ we find that $a^{2}=\frac{247}{7}$ and $b^{2}=\frac{247}{15}$
Hence the required equation is
$\frac{x^{2}}{\left(\frac{247}{7}\right)}$ $+\frac{y^{2}}{\frac{247}{15}}=1,$ i.e., $7 x^{2}+15 y^{2}=247$
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माना दीर्धवृत्त $\frac{ x ^2}{ a ^2}+\frac{ y ^2}{4}=1, a > 2$, के अन्तर्गत, अधिकतम क्षेत्रफल वाले त्रिभुज का एक शीर्ष, दीर्घवत्त के दीर्घअक्ष के एक सिरे पर है तथा एक भुजा $y$-अक्ष के समान्तर है। यदि त्रिभुज का अधिकतम क्षेत्रफल $6 \sqrt{3}$ है तो दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता होगी :
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$c$ के उन मानों की संख्या, जिनके लिये सरल रेखा $y = 4x + c$ वक्र $\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1$ को स्पर्श करती है, है
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माना कि $T_1$ एवं $T_2$ दीर्घवृत (ellipse) $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ एवं परवलय (parabola) $P: y^2=12 x$ की दो भिन्न उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं (distinct common tangents) हैं। माना कि स्पर्श रेखा $T_1, P$ एवं $E$ को क्रमशः बिन्दुओं $A_1$ एवं $A_2$ पर स्पर्श करती है और स्पर्श रेखा $T_2, P$ एवं $E$ को क्रमशः बिन्दुओं $A_4$ एवं $A_3$ पर स्पर्श करती है। तब निम्न में से कौन सा(से) कथन सत्य है(हैं)?
$(A)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $35$ वर्ग इकाई है
$(B)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $36$ वर्ग इकाई है
$(C)$ स्पर्श रेखाएं $T_1$ एवं $T_2, x$-अक्ष को बिंदु $(-3,0)$ पर मिलती हैं
$(D)$ स्पर्श रेखाएं $T_1$ एवं $T_2, x$-अक्ष को बिंदु $(-6,0)$ पर मिलती हैं
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यदि रेखा $y = 2x + c$ दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ को स्पर्श करती है, तो $c = $
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यदि परवलय $y ^{2}= x$ के एक बिन्दु $(\alpha, \beta),(\beta>0)$ पर, स्पर्श रेखा, दीर्घवृत्त $x ^{2}+2 y ^{2}=1$ की भी स्पर्श रेखा है, तो $\alpha$ बराबर है
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