प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए
नाभियाँ $(\pm 3 \sqrt{5}, 0),$ नाभिलंब जीवा की लंबाई $8$ है।
प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए
नाभियाँ $(\pm 3 \sqrt{5}, 0),$ नाभिलंब जीवा की लंबाई $8$ है।
Foci $(\pm 3 \sqrt{5},\, 0),$ the latus rectum is of length $8$.
Here, the foci are on the $x-$ axis.
Therefore, the equation of the hyperbola is of the form $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
since the foci are $(\pm 3 \sqrt{5}, \,0)$, $c=\pm 3 \sqrt{5}$
Length of latus rectum $=8$
$\Rightarrow \frac{2 b^{2}}{a}=8$
$\Rightarrow b^{2}=4 a$
We know that $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
$\therefore a^{2}+4 a=45$
$\Rightarrow a^{2}+4 a-45=0$
$\Rightarrow a^{2}+9 a-5 a-45=0$
$\Rightarrow(a+9)(a-5)=0$
$\Rightarrow a=-9,5$
since a is non-negative, $a=5$
$\therefore b^{2}=4 a=4 \times 5=20$
Thus, the equation of the hyperbola is $\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{20}=1$
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अतिपरवलय $\frac{ x ^{2}}{ a ^{2}}-\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1$ जिसकी उत्केन्द्रता $\frac{\sqrt{5}}{2}$ है, पर एक बिन्दु $P (-2 \sqrt{6}, \sqrt{3})$ है। यदि इस अतिपरवलय के बिन्दु $P$ पर स्पर्श रेखा तथा अभिलंब अतिपरवलय के संयुग्मी अक्ष को क्रमशः बिन्दुओं $Q$ तथा $R$ पर काटते है, तो $QR$ बराबर है -
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प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए
शीर्ष $(\pm 7,0), e=\frac{4}{3}$
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एक अतिपरवलय जिसके अनुप्रस्थ (transverse) अक्ष की लम्बाई $\sqrt{2}$ है और उसके नाभिकेन्द्र, दीर्घवृत्त $3 x^{2}+4 y^{2}=12$ के नाभिकेन्द्रों के बराबर है। तो अतिपरवलय निम्न में से किस बिन्दु से होकर नहीं जाता है?
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अतिपरवलय $3{x^2} - 4{y^2} = 32$ के अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई है
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माना अतिपरवलय $\frac{ x ^2}{ a ^2}-\frac{ y ^2}{ b ^2}=1$ की उत्केन्द्रियता $\frac{5}{4}$ है। यदि अतिपरवलय के बिन्दु $\left(\frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{12}{5}\right)$ पर अभिलम्ब का समीकरण $8 \sqrt{5} x +\beta y =\lambda$ हो तो $\lambda-\beta$ बराबर होगा $-$
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