वक्र ${x^2} - {y^2} = 1$ की उत्केन्द्रता है

माना अतिपरवलय $\mathrm{H}: \frac{\mathrm{x}^2}{9}-\frac{\mathrm{y}^2}{4}=1$ पर प्रथम चतुर्थांश में एक बिंदु $P$ तथा $H$ फी दो नामियों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $2 \sqrt{13}$ है। तो $\mathrm{P}$ की मूल बिंदु से दूरी का वर्ग है।

माना $\mathrm{H}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{x}^2}{1+\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{y}^2}{3+\mathrm{n}}=1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}$ हैं। माना $\mathrm{k}$, $\mathrm{n}$ का वह न्यूनतम सम मान है जिसके लिए $\mathrm{H}_{\mathrm{k}}$ की उत्केन्द्रता एक परिमेय संख्या है। यदि $\mathrm{H}_k$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई $l$ है, तो $21 l$ बराबर __________है।

एक अतिपरवलय के शीर्ष $(0, 0)$ तथा $(10, 0)$ और एक नाभि $(18, 0)$ है। अतिपरवलय का समीकरण है

एक अविपरवलय बिंदु $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ से होकर जाता है, तथा उसकी नाभियाँ $(\pm 2,0)$ पर है, तो अतिपरवलय के बिंदु $P$ पर खींची गई स्पर्शरिखा जिस बिंदु से होकर जाती है, वह है:

माना अतिपरवलय $a^2 x^2-y^2=b^2$ की स्पर्श रेखा $\lambda x -2 y =\mu$ है। तब $\left(\frac{\lambda}{ a }\right)^2-\left(\frac{\mu}{ b }\right)^2$ बराबर है: