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8. Sequences and Series
hard
माना $a, b, c$ एक समान्तर श्रेढ़ी में है। माना त्रिभुज जिसके शीर्ष बिन्दु $( a , c ),(2, b )$ तथा $( a , b )$ है, का केन्द्रक $\left(\frac{10}{3}, \frac{7}{3}\right)$ है। यदि समीकरण, $a x ^{2}+ bx +1=0$ के मूल $\alpha$ तथा $\beta$ है, तो $\alpha^{2}+\beta^{2}-\alpha \beta$ का मान है
A
$\frac{71}{256}$
B
$\frac{69}{256}$
C
$-\frac{69}{256}$
D
$-\frac{71}{256}$
(JEE MAIN-2021)
Solution
$\frac{a+2+a}{3}=\frac{10}{3}$
$a=4$
and $\frac{c+b+b}{3}=\frac{7}{3}$
$c+2 b=7$
also $2 b=a+c$
$2 b-a+2 b=7$
$b=\frac{11}{4}$
now $4 x ^{2}+\frac{11}{4} x +1=0 (0=\alpha \,And \, \beta)$
$\alpha^{2}+\beta^{2}-\alpha \beta=(\alpha+\beta)^{2}-3 \alpha \beta$
$=\left(\frac{-11}{16}\right)^{2}-3\left(\frac{1}{4}\right)$
$=\frac{121}{256}-\frac{3}{4}=\frac{-71}{256}$
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