निम्नलिखित श्रेणियों के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।
$5+55+555+\ldots$
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$5+55+555+\ldots$
$5+55+555+\ldots$
Let $S_{n}=5+55+555+\ldots .$ to $n$ terms
$=\frac{5}{9}[9+99+999+\ldots \ldots \text { to } n \text { terms }]$
$=\frac{5}{9}\left[(10-1)+\left(10^{2}-1\right)+\left(10^{3}-1\right)+\ldots \text { to } n \text { terms }\right]$
$=\frac{5}{9}[\left(10+10^{2}+10^{3}+\text { to } n \text { terms }\right)$
$-(1+1+\ldots \text { to } n \text { terms })]$
$=\frac{5}{9}\left[\frac{10\left(10^{n}-1\right)}{10-1}-n\right]$
$=\frac{5}{9}\left[\frac{10\left(10^{n}-1\right)}{9}-n\right]$
$=\frac{50}{81}\left(10^{n}-1\right)-\frac{5 n}{9}$
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$1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{2010}$ बहुपद $(polynomial)$ को विभाजन करने वाले $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{n-1}$ बहुपद के लिए अंतराल $[1005,2010]$ में कितनो प्राकृत संख्याएं $(natural\,numbers)$ हों गी?
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- [KVPY 2010]
किसी गुणोत्तर श्रेणी का $6$ वाँ पद $32$ तथा $8$ वाँ पद $128$ है, तो श्रेणी का सार्वानुपात होगा
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अनुक्रम का कौन सा पद.
$2,2 \sqrt{2}, 4, \ldots ; 128$ है ?
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$0<\mathrm{c}<\mathrm{b}<\mathrm{a}$ के लिए माना $(\mathrm{a}+\mathrm{b}-2 \mathrm{c}) \mathrm{x}^2+(\mathrm{b}+\mathrm{c}-2 \mathrm{a}) \mathrm{x}+(\mathrm{c}+\mathrm{a}-2 \mathrm{~b})=0$ का एक मूल $\alpha \neq 1$ है। तो दो कथनों में
($I$) यदि $\alpha \in(-1,0)$ है, तो $a$ तथा $c$ का गुणोत्तर माध्य $b$ नहीं हो सकता।
($II$) यदि $\alpha \in(0,1)$ है, तो $\mathrm{a}$ तथा $\mathrm{c}$ का गुणोत्तर माध्य $\mathrm{b}$ हो सकता है।
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- [JEE MAIN 2024]
गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
मान ज्ञात कीजिए $\sum_{k=1}^{11}\left(2+3^{k}\right)$
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