निम्नलिखित श्रेणियों के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।
$5+55+555+\ldots$
निम्नलिखित श्रेणियों के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।
$5+55+555+\ldots$
$5+55+555+\ldots$
Let $S_{n}=5+55+555+\ldots .$ to $n$ terms
$=\frac{5}{9}[9+99+999+\ldots \ldots \text { to } n \text { terms }]$
$=\frac{5}{9}\left[(10-1)+\left(10^{2}-1\right)+\left(10^{3}-1\right)+\ldots \text { to } n \text { terms }\right]$
$=\frac{5}{9}[\left(10+10^{2}+10^{3}+\text { to } n \text { terms }\right)$
$-(1+1+\ldots \text { to } n \text { terms })]$
$=\frac{5}{9}\left[\frac{10\left(10^{n}-1\right)}{10-1}-n\right]$
$=\frac{5}{9}\left[\frac{10\left(10^{n}-1\right)}{9}-n\right]$
$=\frac{50}{81}\left(10^{n}-1\right)-\frac{5 n}{9}$
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यदि $x$ और $y$ के बीच गुणोत्तर माध्य $G$ है, तो $\frac{1}{{{G^2} - {x^2}}} + \frac{1}{{{G^2} - {y^2}}}$ का मान है
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यदि गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $5$ और सार्वअनुपात $ - 5$ है, तो श्रेणी का कौनसा पद $3125$ है
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कार्तीय तल में $C_1, C_2, \ldots, C_n$, जहां $n \geq 3$, नामक वृत्त दिये गये हैं जिनकी त्रिज्या क्रमानुसार $r_1, r_2, \ldots, r_n$ है। प्रत्येक $i$, $1 \leq i \leq n-1$ के लिए, वृत्त $C_i$ तथा $C_{i+1}$ एक दूसरे को बाह्य रूप से छूते हैं। यदि $x$-अक्ष तथा रेखा $y=2 \sqrt{2} x+10$ दोनों ही दिये गए सारे वृत्तों की स्पर्श रेखाएँ है तो क्रमानुसार सूची $r_1, r_2, \ldots, r_n$
कार्तीय तल में $C_1, C_2, \ldots, C_n$, जहां $n \geq 3$, नामक वृत्त दिये गये हैं जिनकी त्रिज्या क्रमानुसार $r_1, r_2, \ldots, r_n$ है। प्रत्येक $i$, $1 \leq i \leq n-1$ के लिए, वृत्त $C_i$ तथा $C_{i+1}$ एक दूसरे को बाह्य रूप से छूते हैं। यदि $x$-अक्ष तथा रेखा $y=2 \sqrt{2} x+10$ दोनों ही दिये गए सारे वृत्तों की स्पर्श रेखाएँ है तो क्रमानुसार सूची $r_1, r_2, \ldots, r_n$
- [KVPY 2014]
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का $p$ वाँ, $q$ वाँ व $r$ वाँ पद क्रमश: $a,\;b,\;c$ हो, तो ${a^{q - r}}.\;{b^{r - p}}.\;{c^{p - q}}$ =
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का $p$ वाँ, $q$ वाँ व $r$ वाँ पद क्रमश: $a,\;b,\;c$ हो, तो ${a^{q - r}}.\;{b^{r - p}}.\;{c^{p - q}}$ =
किसी गुणोत्तर श्रेणी में $S , n$ पदों का योग, $P$ उनका गुणनफल तथा $R$ उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए कि $P ^{2} R ^{n}= S ^{n}$.
किसी गुणोत्तर श्रेणी में $S , n$ पदों का योग, $P$ उनका गुणनफल तथा $R$ उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए कि $P ^{2} R ^{n}= S ^{n}$.