$\left(a^{2}+\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}+\left(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}$ का मान ज्ञात कीजिए।
Firstly, the expression $(x+y)^{4}+(x-y)^{4}$ is simplified by using Binomial Theorem.
This can be done as
${(x + y)^4} = {\,^4}{C_0}{x^4} + {\,^4}{C_1}{x^3}y + {\,^4}{C_2}{x^2}{y^2} + {\,^4}{C_3}x{y^3} + {\,^4}{C_4}{y^4}$
$=x^{4}+4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}+4 x y^{3}+y^{4}$
${(x - y)^4} = {\,^4}{C_0}{x^4} - {\,^4}{C_1}{x^3}y + {\,^4}{C_2}{x^2}{y^2} - {\,^4}{C_3}x{y^3} + {\,^4}{C_4}{y^4}$
$=x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4}$
$\therefore(x+y)^{4}+(x-y)^{4}=2\left(x^{4}+6 x^{2} y^{2}+y^{4}\right)$
Putting $x=a^{2}$ and $y=\sqrt{a^{2}-1},$ we obtain
$\left(a^{2}+\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}+\left(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}=2\left[\left(a^{2}\right)^{4}+6\left(a^{2}\right)^{2}(\sqrt{a^{2}-1})^{2}+(\sqrt{a^{2}-1})^{4}\right]$
$=2\left[a^{8}+6 a^{4}\left(a^{2}-1\right)+\left(a^{2}-1\right)^{2}\right]$
$=2\left[a^{8}+6 a^{6}-6 a^{4}+a^{4}-2 a^{2}+1\right]$
$=2\left[a^{8}+6 a^{6}-5 a^{4}-2 a^{2}+1\right]$
$=2 a^{8}+12 a^{6}-10 a^{4}-4 a^{2}+2$
${\left( {{x^2} + \frac{a}{x}} \right)^5}$ के प्रसार में $x$ का गुणांक है
$(x+a)^{n}$ के प्रसार में अंत से $r^{\text {th }}$ पद ज्ञात कीजिए।
${\left( {\sqrt x - \frac{2}{x}} \right)^{18}}$ में $x$ से स्वतंत्र पद है
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए गुणनफल $(1+2 a)^{4}(2-a)^{5}$ में $a^{4}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
$x$ के घटते घात $(decreasing\,powers)$ में $\left(x^{1 / 2}+\frac{1}{2 x^{1 / 4}}\right)^n$ का प्रसार $(expansion)$ लिखिए. मान लें कि पहले तीन पदों के गुणांकों $(coefficients)$ से अंकगणितीय शंढी $(arithmetic \,progression)$ बनती है। तब प्रसार मे $s$ के पूर्णांक घात $(integer\,powers)$ वालें पदों की संख्य है - -