$\left(a^{2}+\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}+\left(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}$ का मान ज्ञात कीजिए।
Firstly, the expression $(x+y)^{4}+(x-y)^{4}$ is simplified by using Binomial Theorem.
This can be done as
${(x + y)^4} = {\,^4}{C_0}{x^4} + {\,^4}{C_1}{x^3}y + {\,^4}{C_2}{x^2}{y^2} + {\,^4}{C_3}x{y^3} + {\,^4}{C_4}{y^4}$
$=x^{4}+4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}+4 x y^{3}+y^{4}$
${(x - y)^4} = {\,^4}{C_0}{x^4} - {\,^4}{C_1}{x^3}y + {\,^4}{C_2}{x^2}{y^2} - {\,^4}{C_3}x{y^3} + {\,^4}{C_4}{y^4}$
$=x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4}$
$\therefore(x+y)^{4}+(x-y)^{4}=2\left(x^{4}+6 x^{2} y^{2}+y^{4}\right)$
Putting $x=a^{2}$ and $y=\sqrt{a^{2}-1},$ we obtain
$\left(a^{2}+\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}+\left(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}=2\left[\left(a^{2}\right)^{4}+6\left(a^{2}\right)^{2}(\sqrt{a^{2}-1})^{2}+(\sqrt{a^{2}-1})^{4}\right]$
$=2\left[a^{8}+6 a^{4}\left(a^{2}-1\right)+\left(a^{2}-1\right)^{2}\right]$
$=2\left[a^{8}+6 a^{6}-6 a^{4}+a^{4}-2 a^{2}+1\right]$
$=2\left[a^{8}+6 a^{6}-5 a^{4}-2 a^{2}+1\right]$
$=2 a^{8}+12 a^{6}-10 a^{4}-4 a^{2}+2$
गुणांक ज्ञात कीजिए
$(x+3)^{8}$ में $x^{5}$ का
${\left( {\sqrt 3 + \sqrt[8]{5}} \right)^{256}}$ के विस्तार में पूर्णांक पदों की संख्या होगी
$\alpha>0, \beta>0$ ऐसा हो कि $\alpha^{3}+\beta^{2}=4$ हो। यदि $\left(\alpha x^{\frac{1}{9}}+\beta x^{-\frac{1}{6}}\right)^{10}$ के द्विपदीय विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद का अधिकतम मान $10 k$ है, तो $k$ बराबर है
$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{2 \sqrt[3]{x}}\right)^{18}, x>0$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद ज्ञात कीजिए।
यदि द्विपद ${\left[ {\sqrt {{2^{\log (10 - {3^x})}}} + \sqrt[5]{{{2^{(x - 2)\log 3}}}}} \right]^m}$ के प्रसार में $6$ वां पद $21$ के बराबर है तथा यह ज्ञात है कि प्रसार में दूसरे, तीसरे तथा चौथे पदों के द्विपद गुणांक क्रमश: समान्तर श्रेणी के प्रथम, तृतीय तथा पंचम पद हैं. (संकेत $log$ आधार $10$ के सापेक्ष लघुगणक के लिये प्रयुक्त है), तब $x = $