$\left(a^{2}+\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}+\left(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}$ ની કિંમત શોધો.
Firstly, the expression $(x+y)^{4}+(x-y)^{4}$ is simplified by using Binomial Theorem.
This can be done as
${(x + y)^4} = {\,^4}{C_0}{x^4} + {\,^4}{C_1}{x^3}y + {\,^4}{C_2}{x^2}{y^2} + {\,^4}{C_3}x{y^3} + {\,^4}{C_4}{y^4}$
$=x^{4}+4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}+4 x y^{3}+y^{4}$
${(x - y)^4} = {\,^4}{C_0}{x^4} - {\,^4}{C_1}{x^3}y + {\,^4}{C_2}{x^2}{y^2} - {\,^4}{C_3}x{y^3} + {\,^4}{C_4}{y^4}$
$=x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4}$
$\therefore(x+y)^{4}+(x-y)^{4}=2\left(x^{4}+6 x^{2} y^{2}+y^{4}\right)$
Putting $x=a^{2}$ and $y=\sqrt{a^{2}-1},$ we obtain
$\left(a^{2}+\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}+\left(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}=2\left[\left(a^{2}\right)^{4}+6\left(a^{2}\right)^{2}(\sqrt{a^{2}-1})^{2}+(\sqrt{a^{2}-1})^{4}\right]$
$=2\left[a^{8}+6 a^{4}\left(a^{2}-1\right)+\left(a^{2}-1\right)^{2}\right]$
$=2\left[a^{8}+6 a^{6}-6 a^{4}+a^{4}-2 a^{2}+1\right]$
$=2\left[a^{8}+6 a^{6}-5 a^{4}-2 a^{2}+1\right]$
$=2 a^{8}+12 a^{6}-10 a^{4}-4 a^{2}+2$
જો $\left(\frac{4 x}{5}-\frac{5}{2 x}\right)^{2022}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં છેલ્લેથી $1011$ મું પદ એ શરૂઆતના $1011$ માં પદનું $1024$ ગણુું હોય, તો $|x|=......$
વિસ્તરણનું વ્યાપક પદ લખો : $\left(x^{2}-y\right)^{6}$
જો ${\left( {\frac{3}{{{{\left( {84} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} + \sqrt 3 \ln \,x} \right)^9},\,x > 0$ માં પ્રથમ $7^{th}$ પદ $729$ હોય તો $x$ ની શકય કિમત મેળવો
જો $a^3 + b^6 = 2$, હોય તો $(ax^{\frac{1}{3}}+bx^{\frac{-1}{6}})^9$ ના વિસ્તરણમાં અચળ પદ મેળવો જ્યાં $(a > 0, b > 0)$
$(1+x)\left(1-x^2\right)\left(1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)^5, x \neq 0$, માં $x^3$ અને $x^{-13}$ ના સહગુણાકોનો સરવાળો..........................