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$0<\mathrm{c}<\mathrm{b}<\mathrm{a}$ के लिए माना $(\mathrm{a}+\mathrm{b}-2 \mathrm{c}) \mathrm{x}^2+(\mathrm{b}+\mathrm{c}-2 \mathrm{a}) \mathrm{x}+(\mathrm{c}+\mathrm{a}-2 \mathrm{~b})=0$ का एक मूल $\alpha \neq 1$ है। तो दो कथनों में
($I$) यदि $\alpha \in(-1,0)$ है, तो $a$ तथा $c$ का गुणोत्तर माध्य $b$ नहीं हो सकता।
($II$) यदि $\alpha \in(0,1)$ है, तो $\mathrm{a}$ तथा $\mathrm{c}$ का गुणोत्तर माध्य $\mathrm{b}$ हो सकता है।
($I$) तथा ($II$) दोनों सत्य है।
न तो ($I$) न ही ($II$) सत्य है।
केवल ($II$) सत्य है।
केवल ($I$) सत्य है।.
Solution
$\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{a}+\mathrm{b}-2 \mathrm{c}) \mathrm{x}^2+(\mathrm{b}+\mathrm{c}-2 \mathrm{a}) \mathrm{x}+(\mathrm{c}+\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}) $
$ \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}+\mathrm{b}-2 \mathrm{c}+\mathrm{b}+\mathrm{c}-2 \mathrm{a}+\mathrm{c}+\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}=0$
$ \mathrm{f}(1)=0 $
$\therefore \alpha \cdot 1=\frac{\mathrm{c}+\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}-2 \mathrm{c}} $
$ \alpha=\frac{\mathrm{c}+\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}-2 \mathrm{c}} $
$ \text { If, }-1<\alpha<0 $
$ -1<\frac{\mathrm{c}+\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}-2 \mathrm{c}}<0$
$\mathrm{b}+\mathrm{c}<2 \mathrm{a} \text { and } \mathrm{b}>\frac{\mathrm{a}+\mathrm{c}}{2}$
therefore, $\mathrm{b}$ cannot be G.M. between $\mathrm{a}$ and $\mathrm{c}$.
If, $0<\alpha<1$
$0<\frac{\mathrm{c}+\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}-2 \mathrm{c}}<1$
$\mathrm{b}>\mathrm{c}$ and $\mathrm{b}<\frac{\mathrm{a}+\mathrm{c}}{2}$
Therefore, $\mathrm{b}$ may be the $G.M.$ between $\mathrm{a}$ and $\mathrm{c}$.
