कितने वेग से किसी पिण्ड को ऊपर फेंके कि वह पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊंचाई पर पहुंच जाए?

पृथ्वी की कक्षा की उत्केन्द्रता $0.0167$ है। इसकी अधिकतम कक्षीय चाल का न्यूनतम कक्षीय चाल से अनुपात है

दो तारे, जिनमें प्रत्येक का द्रब्यमान सूर्य के द्रव्यमान $\left(2 \times 10^{20} kg \right)$ के बराबर है, एक दूसरे की ओर सम्मुख टक्कर के लिए आ रहे हैं। जब वे $10^{9} km$ दूरी पर हैं तब इनकी चाल उपेक्षणीय हैं। ये तारे किस चाल से टकराएंगे ? प्रत्येक तारे की त्रिज्या $10^{4} km$ है। यह मानिए कि टकराने के पूर्व तक तारों में कोई विरूपण नहीं होता ( $G$ के ज्ञात मान का उपयोग कीजिए )।

$m$ द्रव्यमान का एक कण पृथ्वी तल से ऊपर की ओर u वेग से फेंका जाता है | पृथ्वी का द्रव्यमान तथा त्रिज्या क्रमशः $M$ ओर $R$ है | पृथ्वी तल पर गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ तथा गुरुत्वीय त्वरण $g$ है | $u$ का वह न्यूनतम मान, जिससे कण पृथ्वी तल पर वापस नहीं लौटता है

एक उपग्रह को पृथ्वी की सतह से ऊँचाई $h$ तक लाने में $E _{1}$ ऊर्जा लगती है तथा इस उपग्रह को इस ऊँचाई की वृत्ताकार कक्षा में रखने के लिए $E _{2}$ ऊर्जा की आवश्यकता होती है। $h$ का वह मान, जिसके लिए $E _{1}$ तथा $E _{2}$ बराबर है, होगा।

(दिया है: पृथ्वी की त्रिज्या $\left.=6.4 \times 10^{3}\, km \right)$