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हर धनात्मक वास्तविक संख्या $\lambda$ के लिए मान लीजिए कि $A_\lambda$ उन सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ का समुच्चय है जो $|\sin (\sqrt{n+1})-\sin (\sqrt{n})| < \lambda$ को संतुष्ट करती है. यदि $A_\lambda^c$, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में $A_\lambda$ का पूरक है तो
$A_{\frac{1}{2}}, A_{\frac{1}{3}}, A_{\frac{2}{5}}$ सभी परिमित $(finite)$ समुच्चय हैं.
$A_{\frac{1}{2}}$ परिमित समुच्चय है किन्तु $A_{\frac{1}{2}}, A_{\frac{2}{5}}$ अपरिमित (infinite) समुच्चय है.
$A_{\frac{1}{2}}^c, A_{\frac{1}{3}}^c, A_{\frac{2}{5}}^c$ सभी परिमित समुच्चय हैं.
$A_{\frac{1}{2}}, A_{\frac{2}{5}}$ परिमित समुच्चय है और $A_{\frac{1}{2}}$ अपरिमित समुच्चय है.
Solution
(c)
We have,
$|\sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n}| < \lambda, \lambda \in R$
When $n \rightarrow$
$|\sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n}| \rightarrow 0$
$\therefore$ There exist infinite natural number for which $|\sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n}| < \lambda, \forall \gamma \lambda \in 0$
Hence, $A_{1 / 2}, A_{1 / 3}, A_{2 / 5}$ are infinite sets. $\therefore A_{1 / 2}^e, A_{1 / 3}^e, A_{2 / 5}^e$ are finite sets.
