फलन $f(x) = {e^x},a = 0,b = 1$ के लिए मध्यमान प्रमेय में  $c$ का मान होगा

माना कोई फलन $f$ अंतराल $[0,2]$ में संतत है तथा $(0,2)$ में दो बार अवकलनीय है। यदि $f (0)=0$, $f(1)=1$ तथा $f(2)=2$, हैं, तो

यदि फलन $f(x)=2 x^{3}+ a x^{2}+ b x$ के लिए अंतराल $[-1,1]$ में बिंदु $c =\frac{1}{2}$ पर रोले का प्रमेय लागू है, तो $2 a + b$ का मान है

अंतराल $[2,4]$ में फलन $f(x)=x^{2}$ के लिए माध्यमान प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

माना $\mathrm{f}:[2,4] \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है, जिसके लिए $\left(x \log _e x\right) f^{\prime}(x)+\left(\log _e x\right) f(x)+f(x) \geq 1$, $x \in[2,4], f(2)=\frac{1}{2}$ तथा $f(4)=\frac{1}{4}$ हैं।

निम्न दो कथनों का विचार कीजिए :

($A$) सभी $\mathrm{x} \in[2,4]$ के लिए $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq 1$, है।

($B$) सभी $x \in[2,4]$ के लिए $f(x) \geq \frac{1}{8}$ है। तो

उन बिंदुओं, जहाँ वक्र $\mathrm{y}=\mathrm{x}^5-20 \mathrm{x}^3+50 \mathrm{x}+2$, $\mathrm{x}$-अक्ष को काटता है, की संख्या है____________