જો બહુપદી સમીકરણ  $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$  જ્યાં $n$  ધન પૂર્ણાક સંખ્યા, ના બે ભિન્ન બીજ $ \alpha$  અને $\beta $  હોય, તો $ \alpha  $ અને $\beta$   વચ્ચે સમીકરણ $ na_nx^{n-1} + (n – 1)a_{n-1 }x^{n-2} + …. a_1 = 0 $ એ  $ (\alpha , \beta )$ અંતરાલમાં કેટલા બીજ હોય ?

મધ્યકમાન પ્રમેયમાં $f(b) – f(a) = (b – a)f'(c)$ આપેલ છે. જો $a = 4 , b = 9$ અને $f(x) = \sqrt x $ તો $ c$ ની કિમંત મેળવો.

ધારો કે $f:[2,4] \rightarrow R$ એ એવું વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી

$\left(x \log _e x\right) f^{\prime}(x)+\left(\log _e x\right) f(x)+f(x) \geq 1, x \in[2,4]$ જ્યાં $f(2)=\frac{1}{2}$ અને $f(4)=\frac{1}{4}$ છે.

નીચેના બે વિધાનો ધ્યાને લો.

$(A)$ : પ્રત્યેક $x \in[2,4]$ માટે. $f(x) \leq 1$

$(B)$ : પ્રત્યેક $x \in[2,4]$ માટ $f(x) \geq \frac{1}{8}$ તો,

ધારો કે $f$ અને $g$ એ $(-2,2)$ પરનાં એવા દ્વિ વિકલનીય ચુગ્મ વિધેયો છે કે જેથી $f\left(\frac{1}{4}\right)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=0, f(1)=1$ અને $g\left(\frac{3}{4}\right)=0, g(1)=2 .$ ,તો $(-2,2)$ માં, $f(x) g^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)=0$ ના ઉકેલોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $\dots\dots$છે.

જો $(1 -x + 2x^2)^n$ = $a_0 + a_1x + a_2x^2+….. a_{2n}x^{2n}$ , $n \in N$ , $x \in R$ અને  $a_0$ , $a_2$ અને  $a_1$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો $n$ ની કેટલી શક્ય કિમંતો મળે.