तीन घटनाओं A , B तथा C के लिए P(A अथवा B में से

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14.Probability

hard

तीन घटनाओं $A$, $B$ तथा $C$ के लिए

$P(A$ अथवा $B$ में से केवल एक घटित हांती है $)$

$=P(B$ अथवा $C$ में से केवल एक घटित होती है $)$

$=P(C$ अथवा $A$ में से केबल एक घटित होती है

$=\frac{1}{4}$ तथा $P$ (सभी तीन घटनाएँ एक साथ घटित होती है)

$=\frac{1}{16}$ है,

तो प्रायिकता कि कम से कम एक घटना घटित हो, है:

A

$\frac{3}{{16}}$

B

$\frac{7}{{32}}$

C

$\frac{7}{{16}}$

D

$\frac{7}{{64}}$

(JEE MAIN-2017)

Solution

$\mathrm{P}$ (exactly one of $A$ or $B$ occurs)

$=\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-2 \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\frac{1}{4}$ ….$(1)$

$\mathrm{P}(\text { Exactly one of } \mathrm{B} \text { or $C$ occurs })$

$=P(B)+P(C)-2 P(B \cap C)=\frac{1}{4}$ …..$(2)$

P (Exactly one of $C$ or $A$ occurs)

$=\mathrm{P}(\mathrm{C})+\mathrm{P}(\mathrm{A})-2 \mathrm{P}(\mathrm{C} \cap \mathrm{A})=\frac{1}{4}$ …..$(3)$

Adding $(1),(2)$ and $(3),$ we get

$2 \Sigma P(A)-2 \Sigma P(A \cap B)=\frac{3}{4}$

$\therefore \Sigma P(A)-\Sigma P(A \cap B)=\frac{3}{8}$

Now, $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\frac{1}{16}$

$\therefore \mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C})$

$=\Sigma P(A)-\Sigma P(A \cap B)+P(A \cap B \cap C)$

$=\frac{3}{8}+\frac{1}{16}=\frac{7}{16}$

Standard 11

Mathematics

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