गैलीलियो ने अपनी पुस्तक "टू न्यू. साइंसेज़" में कहा है कि "उन उन्नयनों के लिए जिनके मान $45^{\circ}$ से बराबर मात्रा द्वारा अधिक या कम हैं, क्षेतिज परास बराबर होते हैं" । इस कथन को सिद्ध कीजिए ।
गैलीलियो ने अपनी पुस्तक "टू न्यू. साइंसेज़" में कहा है कि "उन उन्नयनों के लिए जिनके मान $45^{\circ}$ से बराबर मात्रा द्वारा अधिक या कम हैं, क्षेतिज परास बराबर होते हैं" । इस कथन को सिद्ध कीजिए ।
Answer For a projectile launched with velocity
$v _{ o }$ at an angle $\theta_{ o },$ the range is given by
$R=\frac{v_{o}^{2} \sin 2 \theta_{0}}{g}$
Now, for angles, $\left(45^{\circ}+\alpha\right)$ and $\left(45^{\circ}-\alpha\right), 2 \theta_{0}$ is $\left(90^{\circ}+2 \alpha\right)$ and $\left(90^{\circ}-2 \alpha\right),$ respectively. The values of $\sin \left(90^{\circ}+2 \alpha\right)$ and $\sin \left(90^{\circ}-2 \alpha\right)$ are
the same, equal to that of $\cos 2 \alpha .$ Therefore, ranges are equal for elevations which exceed or fall short of $45^{\circ}$ by equal amounts $\alpha$
Similar Questions
दो प्रक्षेप्य $\mathrm{A}$ व $\mathrm{B}$ को क्षैतिज से $30^{\circ}$ व $60^{\circ}$ के कोण पर क्रमशः $40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ व $60 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ प्रारम्भिक वेगों से प्रक्षेपित किया जाता है। उनके क्रमशः परासों का अनुपात है $\left(\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2\right)$
दो प्रक्षेप्य $\mathrm{A}$ व $\mathrm{B}$ को क्षैतिज से $30^{\circ}$ व $60^{\circ}$ के कोण पर क्रमशः $40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ व $60 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ प्रारम्भिक वेगों से प्रक्षेपित किया जाता है। उनके क्रमशः परासों का अनुपात है $\left(\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2\right)$
- [JEE MAIN 2023]
जमीन से एक पत्थर को $25$ मी/सै के वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। दो सैकण्ड पश्चात् यह पत्थर $5$ मीटर ऊँची दीवार को ठीक पार कर जाता है। पत्थर का प्रक्षेपण कोण ...... $^o$ होगा $(g = 10$ मी/सै$^2)$
जमीन से एक पत्थर को $25$ मी/सै के वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। दो सैकण्ड पश्चात् यह पत्थर $5$ मीटर ऊँची दीवार को ठीक पार कर जाता है। पत्थर का प्रक्षेपण कोण ...... $^o$ होगा $(g = 10$ मी/सै$^2)$
द्रव्यमान $m$ का एक कण समय $t =0$ पर मूलबिन्दु पर विराम अवस्था में हैं। इस पर $x$ दिशा में बल $F ( t )= F _{0} e^{- b t }$ लगाया जाता है। इसकी चाल $v ( t )$ निम्नलिखित में से किस वक्र द्वारा प्रदर्शित की जायेगी?
द्रव्यमान $m$ का एक कण समय $t =0$ पर मूलबिन्दु पर विराम अवस्था में हैं। इस पर $x$ दिशा में बल $F ( t )= F _{0} e^{- b t }$ लगाया जाता है। इसकी चाल $v ( t )$ निम्नलिखित में से किस वक्र द्वारा प्रदर्शित की जायेगी?
- [AIEEE 2012]
$x - y$ तल ( $x$ क्षैतिज है एवं $y$ ऊपर की ओर उर्ध्व है) में मूल बिंदु से एक प्रक्षेप को $x$-अक्ष से $\alpha$ कोण बनाते हुए प्रक्षेपित किया जाता है। यदि मूल बिंदु से प्रक्षेपक की दूरी, $r=\sqrt{x^2+y^2}$, को $x$ के सापेक्ष अवलेखन किया जाए, तो $\alpha_1$ एवं $\alpha_2$ प्रक्षेपण कोणों के लिए $r ( x )$ दो अलग-अलग वक्र देता है (सलग्न चित्र देखिए) $\mid \alpha_1$ कोण के लिए $r ( x ), x$ के साथ क्रमशः बढ़ता रहता है। जबकि $\alpha_2$ कोण के लिए $r ( x )$ पहले बढ़ते हुए उच्चतम बिंदु पर पहुँचता है, फिर कम होने लगता है और एक न्यूनतम बिंदु पर पहुँचने के उपरान्त फिर से बढ़ने लगता है। इन दोनों व्यवहारों के बीच संक्रमण (switch) एक खास कोण $\alpha_{ c }\left(\alpha_1 < \alpha_{ c } < \alpha_2\right)$ पर होता है $\mid \alpha_{ c }$ का मान क्या है ? [वायु कर्षण को नगण्य मान लीजिए $\mid y(x)=x \tan \alpha-\frac{1}{2} \frac{\sec ^2 a}{v_0^2} x^2$, जहाँ $v_0$ प्रक्षेप की प्रारंभिक चाल है तथा $g$ गुरुत्वीय त्वरण है
$x - y$ तल ( $x$ क्षैतिज है एवं $y$ ऊपर की ओर उर्ध्व है) में मूल बिंदु से एक प्रक्षेप को $x$-अक्ष से $\alpha$ कोण बनाते हुए प्रक्षेपित किया जाता है। यदि मूल बिंदु से प्रक्षेपक की दूरी, $r=\sqrt{x^2+y^2}$, को $x$ के सापेक्ष अवलेखन किया जाए, तो $\alpha_1$ एवं $\alpha_2$ प्रक्षेपण कोणों के लिए $r ( x )$ दो अलग-अलग वक्र देता है (सलग्न चित्र देखिए) $\mid \alpha_1$ कोण के लिए $r ( x ), x$ के साथ क्रमशः बढ़ता रहता है। जबकि $\alpha_2$ कोण के लिए $r ( x )$ पहले बढ़ते हुए उच्चतम बिंदु पर पहुँचता है, फिर कम होने लगता है और एक न्यूनतम बिंदु पर पहुँचने के उपरान्त फिर से बढ़ने लगता है। इन दोनों व्यवहारों के बीच संक्रमण (switch) एक खास कोण $\alpha_{ c }\left(\alpha_1 < \alpha_{ c } < \alpha_2\right)$ पर होता है $\mid \alpha_{ c }$ का मान क्या है ? [वायु कर्षण को नगण्य मान लीजिए $\mid y(x)=x \tan \alpha-\frac{1}{2} \frac{\sec ^2 a}{v_0^2} x^2$, जहाँ $v_0$ प्रक्षेप की प्रारंभिक चाल है तथा $g$ गुरुत्वीय त्वरण है
- [KVPY 2021]
(चित्रानुसार) $100 \mathrm{~g}$ द्रव्यमान का कोई कण, क्षेतिज से $45^{\circ}$ के कोण पर समय $\mathrm{t}=0$ पर, $20 \mathrm{~ms}^{-1}$ की चाल से प्रक्षेपित किया जाता है। समय $t=2 s$ पर, आरम्भिक बिन्दु के सापेक्ष, कण के कोणीय संवेग का परिमाण $\sqrt{\mathrm{K}} \mathrm{kgm}^2 / \mathrm{s}$ परिकलित किया गया है। $\mathrm{K}$ का मान ________________ होगा। ($\mathrm{g}=10 \mathrm{~ms}^{-2} $ लें )
(चित्रानुसार) $100 \mathrm{~g}$ द्रव्यमान का कोई कण, क्षेतिज से $45^{\circ}$ के कोण पर समय $\mathrm{t}=0$ पर, $20 \mathrm{~ms}^{-1}$ की चाल से प्रक्षेपित किया जाता है। समय $t=2 s$ पर, आरम्भिक बिन्दु के सापेक्ष, कण के कोणीय संवेग का परिमाण $\sqrt{\mathrm{K}} \mathrm{kgm}^2 / \mathrm{s}$ परिकलित किया गया है। $\mathrm{K}$ का मान ________________ होगा। ($\mathrm{g}=10 \mathrm{~ms}^{-2} $ लें )
- [JEE MAIN 2023]