समांतर श्रेणी $-6,-\frac{11}{2},-5, \ldots$ के कितने पदों का योगफल $-25$ है ?
Let the sum of $n$ terms of the given $A.P.$ be $-25$
It is known that,
$S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
Where $n=$ number of terms, $a=$ first term, and $d=$ common difference
Here, $a=-6$
$d=-\frac{11}{2}+6=\frac{-11+12}{2}=\frac{1}{2}$
Therefore, we obtain
$-25=\frac{n}{2}\left[2 \times(-6)+(n-1)\left(\frac{1}{2}\right)\right]$
$\Rightarrow-50=n\left[-12+\frac{n}{2}-\frac{1}{2}\right]$
$\Rightarrow-50=n\left[-\frac{25}{2}+\frac{n}{2}\right]$
$\Rightarrow-100=n(-25+n)$
$\Rightarrow n^{2}-25 n+100=0$
$\Rightarrow n^{2}-5 n-20 n+100=0$
$\Rightarrow n(n-5)-20(n-5)=0$
$\Rightarrow n=20$ or $5$
यदि $x, y, z$ एक समांतर श्रेढी में हैं तथा $\tan ^{-1} x, \tan ^{-1} y$ एवं $\tan ^{-1} z$ भी समांतर श्रेढ़ी में हैं, तो
यदि किसी समान्तर श्रेणी के $10$ पदों का योगफल इसके $5$ पदों के योगफल से $4$ गुना है, तो प्रथम पद व सार्वअन्तर का अनुपात है
यदि $x=\sum_{n=0}^{\infty} a^n, y=\sum_{n=0}^{\infty} b^n, z=\sum_{n=0}^{\infty} c^n$ है, जहां $a , b , c$ समान्तर श्रेणी में है और $| a |<1,| b | < 1$, $| c | < 1, abc \neq 0$ है तब
यदि ${a_1},\;{a_2},\;{a_3}.......{a_n}$ स.श्रे. में हों,(जहाँ $i$ के सभी मानों के लिये ${a_i} > 0$), तब $\frac{1}{{\sqrt {{a_1}} + \sqrt {{a_2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{a_2}} + \sqrt {{a_3}} }} + $$........ + \frac{1}{{\sqrt {{a_{n - 1}}} + \sqrt {{a_n}} }}$ का मान होगा
$100$ व $1000$ के बीच $9$ से विभाजित संख्याओं का योग है