यदि एक वास्तविक संख्या $x$ के लिए $1$ , $\log _{10}(4 x-2)$ तथा $\log _{10}\left(4^{x}+\frac{18}{5}\right)$ एक समान्तर श्रेढ़ी में है, तो सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}2\left( x -\frac{1}{2}\right) & x -1 & x ^{2} \\ 1 & 0 & x \\ x & 1 & 0\end{array}\right|$ का मान बराबर है......।

किसी समांतर श्रेणी में प्रथम पद $2$ है तथा प्रथम पाँच पदों का योगफल, अगले पाँच पदों के योगफल का एक चौथाई है। दर्शाइए कि $20$ वाँ पद $-112$ है।

यदि ${S_k}$ किसी समान्तर श्रेणी के $k$ पदों का योगफल है जिसके प्रथम पद एवं सार्वअन्तर क्रमश: $‘a’$ व $‘d’$ हैं, तो $\frac{{{S_{kn}}}}{{{S_n}}}$,$n$ से स्वतंत्र होगा यदि

किसी समांतर श्रेढ़ी में पदों की संख्या सम है। इसके विषम पदों का योग $24$ है तथा सम पदों का योग $30$ है। यदि अंतिम पद, प्रथम पद से $10 \frac{1}{2}$ अधिक है, तो समांतर श्रेढ़ी में पदों की संख्या है

किसी समांतर श्रेणी का $p$ वाँ, $q$ वाँ $r$ वाँ पद क्रमशः $a, b, c$ हैं, तो सिद्ध कीजिए

$(q-r) a+(r-p) b+(p-q) c=0$

समांतर श्रेढ़ी $3,8,13, \ldots . .373$ के उन सभी पदों, जो $3$ से विभाज्य नहीं है, का योग बराबर है________