8. Sequences and SeriesMedium

गुणोत्तर श्रेणी $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4} \ldots$ के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल $\frac{3069}{512}$ हो जाए ?

Solution

Let $n$ be the number of terms needed. Given that $a=3, r=\frac{1}{2}$ and $S_{n}=\frac{3069}{512}$

Since $S_{n}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Therefore $\frac{3069}{512}=\frac{3\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)}{1-\frac{1}{2}}=6\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)$

or $\frac{3069}{3072}=1-\frac{1}{2^{n}}$

or $\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{3069}{3072}=\frac{3}{3072}=\frac{1}{1024}$

or $2^{n}=1024=2^{10},$ which gives $n=10$

माना धनात्मक संख्याएँ $\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \mathrm{a}_3, \mathrm{a}_4$ तथा $\mathrm{a}_5$ एक $G.P.$ में है। माना इसके माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $\frac{31}{10}$ तथा $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$ है, जहाँ $\mathrm{m}$ तथा $\mathrm{n}$ असभाज्य हैं। यदि इन संख्याओं के व्युत्क्रमों का माध्य $\frac{31}{40}$ है तथा $a_3+a_4+a_5=14$ है, तो $m+n$ बराबर है_____________।

Difficult

Easy

Easy

Medium

Easy