गुणोत्तर श्रेणी $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4} \ldots$ के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल $\frac{3069}{512}$ हो जाए ?
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Let $n$ be the number of terms needed. Given that $a=3, r=\frac{1}{2}$ and $S_{n}=\frac{3069}{512}$
Since $S_{n}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$
Therefore $\frac{3069}{512}=\frac{3\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)}{1-\frac{1}{2}}=6\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)$
or $\frac{3069}{3072}=1-\frac{1}{2^{n}}$
or $\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{3069}{3072}=\frac{3}{3072}=\frac{1}{1024}$
or $2^{n}=1024=2^{10},$ which gives $n=10$
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एक अनंन्त $GPa , ar , a r ^{2}, a r ^{3}, \ldots$ का योग 15 है तथा इसके प्रत्येक पद का वर्ग करने का योग 150 है, तो $a r^{2}, a r^{4}, a r^{6}, \ldots$ का योग है।
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- [JEE MAIN 2021]
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी के पदों का योग $364$, सार्वानुपात $3$ तथा अंतिम पद $243$ है, तो श्रेणी में पदों की संख्या होगी
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माना $n =1,2, \ldots ., 50$ के लिए, अनन्त गुणोत्तर श्रेणी का योगफल $S _{ n }$ है जिसका प्रथम पद $n ^2$ तथा जिसका सार्व अनुपात $\frac{1}{(n+1)^2}$ है। तब $\frac{1}{26}+\sum_{ n =1}^{50}\left( S _{ n }+\frac{2}{ n +1}- n -1\right)$ का मान है
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- [JEE MAIN 2022]
किसी गुणोत्तर श्रेणी की $3$ संख्याओं का योग $38$ तथा गुणनफल $1728$ है तब मध्य संख्या है
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दिखाइए कि अनुक्रम $a, a r, a r^{2}, \ldots a r^{n-1}$ तथा $A , AR , AR ^{2}, \ldots AR ^{n-1}$ के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम गुणोत्तर श्रेणी होती है तथा सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
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