જો વિધેય $f(x) = x(x-1)(x-2);\, x \in [0,\, 1/2]$ માટે મધ્યકમાન પ્રમેયનું પાલન કરે છે તો $C =? $

$f(x)$ એ  $[1,2]$ પર સતત અને $(1,2)$ પર વિકલનીય આપેલ છે જે $f(1) = 2, f(2) = 3$ અને $f'(x) \geq 1 \forall x \in (1,2)$ નું પાલન કરે છે અને $g(x)=\int\limits_1^x {f(t)\,dt\,\forall \,x\, \in [1,2]} $ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે તો $[1,2]$ પર $g(x)$ ની મહતમ કિમંત મેળવો.

If $f(x)$ એ $[1,\,2]$ માટે રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે અને $f(x)$ એ $[1,\,2]$ માં સતત છે તો $\int_1^2 {f'(x)dx}   = . . .$

જો વિધેયો $f(x)=\frac{x^3}{3}+2 b x+\frac{a x^2}{2}$ અને $g(x)=\frac{x^3}{3}+a x+b x^2, a \neq 2 b$ ને સામાન્ય યરમ બિંદુ $(extreme\,point)$ હોય, તો $a+2 b+7=...........$

ધારો કે $f$ અને $g$ એ $(-2,2)$ પરનાં એવા દ્વિ વિકલનીય ચુગ્મ વિધેયો છે કે જેથી $f\left(\frac{1}{4}\right)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=0, f(1)=1$ અને $g\left(\frac{3}{4}\right)=0, g(1)=2 .$ ,તો $(-2,2)$ માં, $f(x) g^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)=0$ ના ઉકેલોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $\dots\dots$છે.

અહી $\mathrm{f}$ એ અંતરાલ $[0,2]$ પર સતત છે અને અંતરાલ $(0,2)$ પર દ્રીતીય વિકલનીય છે . જો  $\mathrm{f}(0)=0, \mathrm{f}(1)=1$ અને $f(2)=2$ હોય તો  . .. .  .