અહી $\mathrm{f}$ એ અંતરાલ $[0,2]$ પર સતત છે અને અંતરાલ $(0,2)$ પર દ્રીતીય વિકલનીય છે . જો  $\mathrm{f}(0)=0, \mathrm{f}(1)=1$ અને $f(2)=2$ હોય તો  . .. .  .

ધારો કે $f:[2,4] \rightarrow R$ એ એવું વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી

$\left(x \log _e x\right) f^{\prime}(x)+\left(\log _e x\right) f(x)+f(x) \geq 1, x \in[2,4]$ જ્યાં $f(2)=\frac{1}{2}$ અને $f(4)=\frac{1}{4}$ છે.

નીચેના બે વિધાનો ધ્યાને લો.

$(A)$ : પ્રત્યેક $x \in[2,4]$ માટે. $f(x) \leq 1$

$(B)$ : પ્રત્યેક $x \in[2,4]$ માટ $f(x) \geq \frac{1}{8}$ તો,

વિધેય $f(x) = 2{x^3} + b{x^2} + cx,\,x\, \in \,\left[ { - 1,1} \right]$ એ $x = \frac{1}{2}$ આગળ રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે તો  $(2b+c)$ મેળવો.

અંતરાલ $[-2, 2]$ માં, વક્ર $y = {x^3}$ પરના બિંદુનો $x-$ યામ મેળવો કે જેનો સ્પર્શકનો ઢાળએ અંતરાલ $[-2, 2]$ માં મધ્યક પ્રમેય મુજબ મેળવી શકાય છે.

વિધેય $f(x) = {e^x},a = 0,b = 1$, તો મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિમત મેળવો.

વિધેય $f(x) = {x^3} - 6{x^2} + ax + b$ એ $[1, 3]$ માં રોલ ના પ્રમેયનું પાલન કરે છે તો $a$ અને $b$ મેળવો.