જો અંતરાલ $[3,4]$ માં બિંદુ $c$ આગળ વિધેય $f(\mathrm{x})=\log _{\mathrm{e}}\left(\frac{\mathrm{x}^{2}+\alpha}{7 \mathrm{x}}\right)$ કે જ્યાં  $\alpha \in \mathrm{R},$ એ રોલના પ્રમેયનું પાલન કરતું હોય તો $f^{\prime \prime}(\mathrm{c})$ મેળવો.

મધ્યક પ્રમેય મુજબ, $f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$ જો $a = 4$, $b = 9$ અને $f(x) = \sqrt x $ તો $c$ ની કિમત મેળવો.

આપેલ પૈકી ક્યૂ વિધેય રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે ?

જો $y = f (x)$ અને  $y = g (x)$ એ $[0,2]$ પર બે વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી $f(0) = 3,$ $f(2) = 5$ , $g (0) = 1$ અને $g(2) = 2$ થાય. જો ઓછામાં ઓછો એક $c \in \left( {0,2} \right)$ મળે કે જેથી $f'(c)=kg'(c)$ થાય તો $k$ મેળવો.

જો $f:[-5,5] \rightarrow \mathrm{R}$ વિકલનીય વિધેય હોય અને $f^{\prime}(x)$ ક્યાંય શૂન્ય ના બને તો સાબિત કરો કે $f(-5) \neq f(5).$

જો બહુપદી સમીકરણ  $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$  જ્યાં $n$  ધન પૂર્ણાક સંખ્યા, ના બે ભિન્ન બીજ $ \alpha$  અને $\beta $  હોય, તો $ \alpha  $ અને $\beta$   વચ્ચે સમીકરણ $ na_nx^{n-1} + (n - 1)a_{n-1 }x^{n-2} + …. a_1 = 0 $ એ  $ (\alpha , \beta )$ અંતરાલમાં કેટલા બીજ હોય ?