જો  $\mathrm{e}_{1}$ અને  $\mathrm{e}_{2}$ એ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{\mathrm{x}^{2}}{18}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ અને અતિવલય $\frac{\mathrm{x}^{2}}{9}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ ની  ઉકેન્દ્રીતા હોય  અને બિંદુ $\left(\mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2}\right)$ એ ઉપવલય $15 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{y}^{2}=\mathrm{k},$ પર હોય તો  $\mathrm{k}$ મેળવો.

 $a$ અને $b$ એ અનુક્રમે અતિવલય જેની ઉત્કેન્દ્રતા સમીકરણ $9e^2 - 18e + 5 = 0$ ને સંતોષે છે તેની અર્ધ મુખ્યઅક્ષ અને અર્ધ અનુબધ્ધઅક્ષ છે જેની જો અતિવલયની નાભિ  $S(5, 0)$ અને અનુરૂપ નિયમિકા $5x = 9$  હોય તો $a^2 - b^2$ = 

$m$ ના ક્યાં મૂલ્ય  માટે  $y\,\, = \,\,mx\,\, + \;\,6$  એ અતિવલય  $\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{100}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{49}}\,\, = \,\,1\,$  નો સ્પર્શક હોય ?

જો નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર અતિવલયની$\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}}}\,\, + \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર  $3 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં હોય, તો $ a : b $ = ……

જો અતિવલયનું કેન્દ્ર ઉંગમબિંદુ હોય તથા બિંદુ $(4, 2)$ માંથી પસાર થતું હોય અને તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $4$ અને $x -$ અક્ષ હોય તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા મેળવો. 

અતિવલયના નાભિકેન્દ્ર આગળ નાભિલંબ કાટખૂણો બનાવે, તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા :