જો  $\mathrm{e}_{1}$ અને  $\mathrm{e}_{2}$ એ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{\mathrm{x}^{2}}{18}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ અને અતિવલય $\frac{\mathrm{x}^{2}}{9}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ ની  ઉકેન્દ્રીતા હોય  અને બિંદુ $\left(\mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2}\right)$ એ ઉપવલય $15 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{y}^{2}=\mathrm{k},$ પર હોય તો  $\mathrm{k}$ મેળવો.

જે અતિવલયનો નાભિલંબ $8$ હોય અને અનુબદ્ધ અક્ષ નાભિઓ વચ્ચેનાં અંતર કરતાં અડધી હોય, તેવા અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા મેળવો.

અતિવલય $H : x^{2}-y^{2}=1$ અને ઉપવલય $E : \frac{x^{2}}{ a ^{2}}+\frac{y^{2}}{ b ^{2}}=1, a > b >0$, માટે ધારોકે

$(1)$ $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાની વ્યસ્ત છે, અને

$(2)$ રેખા $y=\sqrt{\frac{5}{2}} x+ K$ એ $E$ અને $H$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે.

તો $4\left(a^{2}+b^{2}\right)=$ ...........

પરવલય $y ^{2}=24 x$ પરના બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માંથી સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે જે રેખા $2 x+2 y=5$ ને લંબ છે તો અતિવલય $\frac{x^{2}}{\alpha^{2}}-\frac{y^{2}}{\beta^{2}}=1$ નો બિંદુ $(\alpha+4, \beta+4)$ આગળનો અભિલંબએ  .   ..  બિંદુમાંથી પસાર ન થાય.

અતિવલય $ \,\frac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{{a^2}}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\, - 1\,\,$ ની નાભિલંબાઈ:

આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો :  નાભિઓ $(0,\,\pm 13),$ અનુબધ્ધ અક્ષની લંબાઈ $24$