ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{b^2}=1$ નો નાભિલંબ અતિવલયના કેન્દ્ર સાથે $\frac{\pi}{3}$ સાથે ખૂણો આંતરે છે. જો $b^2$ બરાબર $\frac{l}{m}(1+\sqrt{\mathrm{n}})$ થાય, જ્યાં $l$ અને $\mathrm{m}$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તો $\mathrm{l}^2+\mathrm{m}^2+\mathrm{n}^2=$___________. 

$P$ એ પરવલય $y^2 = 12x$ અને અતિવલય $8x^2 -y^2 = 8$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે. જો $S$ અને $S'$ એ અતિવલયની નાભીઓ હોય જ્યાં $S$ એ ધન $x-$ અક્ષ પર હોય તો બિંદુ $P$  એ $SS'$ ને ……………. ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે .

અહી પરવલય $P: y^{2}=4 x$ ની નાભીજીવા એ રેખા $L: y=m x+c, m>0$ ને સંપાતી છે કે જે પરવલય ને બિંદુઓ $M$ અને $N$ માં છેદે છે. જો રેખા $L$ એ અતિવલય $H : x ^{2}- y ^{2}=4$ નો સ્પર્શક છે .જો  $O$ એ $P$ નું શિરોબિંદુ છે અને $F$ એ $H$ ની ધન $x-$અક્ષ પરની નાભી હોય તો ચતુષ્કોણ $OMFN$ નું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

જે અતિવલયનો નાભિલંબ $8$ હોય અને અનુબદ્ધ અક્ષ નાભિઓ વચ્ચેનાં અંતર કરતાં અડધી હોય, તેવા અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા મેળવો.

$0 < \theta  < \frac{\pi }{2}$.જો અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}\,\theta }} – \frac{{{y^2}}}{{{{\sin }^2}\,\theta }} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $2$ કર્તા વધારે હોય તો નાભીલંબની મહતમ લંબાઈ ક્યાં અંતરાલમાં મળે,