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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola
hard
यदि $e _{1}$ तथा $e _{2}$ क्रमशः दीर्घवृत्त $\frac{ x ^{2}}{18}+\frac{ y ^{2}}{4}=1$ तथा अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$ की उत्केंद्रताएँ है तथा $\left( e _{1}, e _{2}\right)$ दीर्घवृत्त $15 x ^{2}+3 y ^{2}= k$ पर स्थित एक बिन्दु है, तो $k$ का मान है
A
$15$
B
$14$
C
$17$
D
$16$
(JEE MAIN-2020)
Solution
$e_{1}=\sqrt{1-\frac{4}{18}}=\frac{\sqrt{7}}{3}$
$\mathrm{e}_{2}=\sqrt{1+\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{13}}{3}$
$\because \quad\left(\mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2}\right)$ lies on $15 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{y}^{2}=\mathrm{k}$
$\Rightarrow \quad 15 \mathrm{e}_{1}^{2}+3 \mathrm{e}_{2}^{2}=\mathrm{k}$
$\Rightarrow \quad k=16$
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