माना अतिपरवलय frac{x^2}{9}-frac{y^2}{b^2}=1 का नाभिलम्ब,

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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

hard

माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का नाभिलम्ब, अतिपरवलय के केन्द्र प़र $\frac{\pi}{3}$ का कोण बनाता है। यदि $\mathrm{b}^2$ बराबर $\frac{\ell}{\mathrm{m}}(1+\sqrt{\mathrm{n}})$ है, जहाँ $\ell$ तथा $\mathrm{m}$ असहभाज्य संख्याएँ हैं, तो $\ell^2+m^2+n^2$ बराबर है.............

A

$177$

B

$56$

C

$182$

D

$728$

(JEE MAIN-2024)

Solution

$ LR$ subtends $60^{\circ}$ at centre

$ \Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{b^2 / a}{a e}=\frac{b^2}{a^2 e}=\frac{1}{\sqrt{3}} $

$ \Rightarrow \mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}^2}{9}$

Also, $e^2=1+\frac{b^2}{9} \Rightarrow 1+\frac{b^2}{9}=\frac{3 b^4}{81}$

$ \Rightarrow b^4=3 b^2+27 $

$ \Rightarrow b^4-3 b^2-27=0$

$ \Rightarrow b^2=\frac{3}{2}(1+\sqrt{13})$

$ \Rightarrow \ell=3, m=2, n=13 $

$ \Rightarrow \ell^2+m^2+n^2=182$

Standard 11

Mathematics

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hard

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hard

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hard

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medium