જો $a$ અને $b$ ભિન્ન પૂર્ણાક હોય, તો સાબિત કરો કે $a^{n}-b^{n}$ નો એક અવયવ $a-b$ છે, જ્યાં $n$ એ ધન પૂર્ણાક છે.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

In order to prove that $(a-b)$ is a factor of $\left(a^{n}-b^{n}\right)$, it has to be proved that $a^{n}-b^{n}=k(a-b),$ where $k$ is some natural number

It can be written that, $a=a-b+b$

$\therefore a^{n}=(a-b+b)^{n}=[(a-b)+b]^{n}$

$ = {\,^n}{C_0}{(a - b)^n} + {\,^n}{C_1}{(a - b)^{n - 1}}b +  \ldots  + {\,^n}{C_{n - 1}}(a - b){b^{n - 1}} + {\,^n}{C_n}{b^n}$

$ = {(a - b)^n} + {\,^n}{C_1}{(a - b)^{n - 1}}b +  \ldots  + {\,^n}{C_{n - 1}}(a - b){b^{n - 1}} + {b^n}$

$\Rightarrow a^{n}-b^{n}=(a-b)\left[(a-b)^{n-1}+^{n} C_{1}(a-b)^{n-2} b+\ldots+^{n} C_{n-1} b^{n-1}\right]$

$\Rightarrow a^{n}-b^{n}=k(a-b)$

Where, $k = \left[ {{{(a - b)}^{n - 1}} + {\,^n}{C_1}{{(a - b)}^{n - 2}}b +  \ldots  + {\,^n}{C_{n - 1}}{b^{n - 1}}} \right]$ is a natural mumber

This shows that $(a-b)$ is a factor of $\left(a^{n}-b^{n}\right)$, where $n$ is a positive integer.

Similar Questions

જો ${\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{2n}},$ ના વિસ્તરણમાં ${x^m}$ નો સહગુણક મેળવો.

$(1-x)^{30} \, (1 + x + x^2)^{29}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{37}$ નો સહગુણક મેળવો 

${\left( {{x^5} + {{4.3}^{ - {{\log }_{\sqrt 3 }}\sqrt {{x^3}} }}} \right)^{10}}$ ના વિસ્તરણમાં $x^2$ અને $x^{10}$ ના સહગુણકનો ગુણોત્તર મેળવો 

${(1 + x)^n}$ ના વિસ્તરણમાં ક્રમિક ત્રણ પદો અનુક્રમે $165, 330$ અને $462$ હોય, તો $n$ મેળવો.

જો ${\left( {x + 10} \right)^{50}} + {\left( {x - 10} \right)^{50}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + .... + {a_{50}}{x^{50}}$ , જ્યાં $x \in R$; તો  $\frac{{{a_2}}}{{{a_0}}}$ ની કિમત મેળવો. 

  • [JEE MAIN 2019]