જો $a$ અને $b$ ભિન્ન પૂર્ણાક હોય, તો સાબિત કરો કે $a^{n}-b^{n}$ નો એક અવયવ $a-b$ છે, જ્યાં $n$ એ ધન પૂર્ણાક છે.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

In order to prove that $(a-b)$ is a factor of $\left(a^{n}-b^{n}\right)$, it has to be proved that $a^{n}-b^{n}=k(a-b),$ where $k$ is some natural number

It can be written that, $a=a-b+b$

$\therefore a^{n}=(a-b+b)^{n}=[(a-b)+b]^{n}$

$ = {\,^n}{C_0}{(a - b)^n} + {\,^n}{C_1}{(a - b)^{n - 1}}b +  \ldots  + {\,^n}{C_{n - 1}}(a - b){b^{n - 1}} + {\,^n}{C_n}{b^n}$

$ = {(a - b)^n} + {\,^n}{C_1}{(a - b)^{n - 1}}b +  \ldots  + {\,^n}{C_{n - 1}}(a - b){b^{n - 1}} + {b^n}$

$\Rightarrow a^{n}-b^{n}=(a-b)\left[(a-b)^{n-1}+^{n} C_{1}(a-b)^{n-2} b+\ldots+^{n} C_{n-1} b^{n-1}\right]$

$\Rightarrow a^{n}-b^{n}=k(a-b)$

Where, $k = \left[ {{{(a - b)}^{n - 1}} + {\,^n}{C_1}{{(a - b)}^{n - 2}}b +  \ldots  + {\,^n}{C_{n - 1}}{b^{n - 1}}} \right]$ is a natural mumber

This shows that $(a-b)$ is a factor of $\left(a^{n}-b^{n}\right)$, where $n$ is a positive integer.

Similar Questions

 $\left( {1 - \frac{1}{x} + 3{x^5}} \right){\left( {2{x^2} - \frac{1}{x}} \right)^8}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ પર આધારિત ન હોય તેવું પદ મેળવો. 

  • [JEE MAIN 2015]

${(x + 3)^6}$ ના વિસ્તરણમાં ${x^5}$ નો સહગુણક મેળવો.

જો ${\left( {2 + \frac{x}{3}} \right)^{55}}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ ની ઘાતક અનુક્રમે વધે છે અને બે ક્રમિક પદમાં આવેલ $x$ની ઘાતાંકના સહગુણક સરખા હોય તો તે પદો મેળવો. 

  • [JEE MAIN 2014]

જો $\left(\frac{x^{5 / 2}}{2}-\frac{4}{x^i}\right)^9$ ના દ્રીપદી વિસ્તરણમાં અચળ પદ $- 84$ હોય અને $x^{-3 l}$ નો સહગગુુાક $2^\alpha \cdot \beta$ હોય, જ્યાં $\beta < 0$ એક અયુગ્મ સંખ્યા છે,તો $|\alpha l-\beta|=.............$.

  • [JEE MAIN 2023]

$\left\{7^{\left(\frac{1}{2}\right)}+11\left(\frac{1}{6}\right)\right\}^{824}$ નાં વિસ્તરણમાં પૂણાંક પદોની  સંખ્યા ..................છે. 

  • [JEE MAIN 2024]