यदि $a$ और $b$ भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि $\left(a^{n}-b^{n}\right)$ का एक गुणनखंड $(a-b)$ है, जबकि $n$ एक धन पूर्णांक है।
In order to prove that $(a-b)$ is a factor of $\left(a^{n}-b^{n}\right)$, it has to be proved that $a^{n}-b^{n}=k(a-b),$ where $k$ is some natural number
It can be written that, $a=a-b+b$
$\therefore a^{n}=(a-b+b)^{n}=[(a-b)+b]^{n}$
$ = {\,^n}{C_0}{(a - b)^n} + {\,^n}{C_1}{(a - b)^{n - 1}}b + \ldots + {\,^n}{C_{n - 1}}(a - b){b^{n - 1}} + {\,^n}{C_n}{b^n}$
$ = {(a - b)^n} + {\,^n}{C_1}{(a - b)^{n - 1}}b + \ldots + {\,^n}{C_{n - 1}}(a - b){b^{n - 1}} + {b^n}$
$\Rightarrow a^{n}-b^{n}=(a-b)\left[(a-b)^{n-1}+^{n} C_{1}(a-b)^{n-2} b+\ldots+^{n} C_{n-1} b^{n-1}\right]$
$\Rightarrow a^{n}-b^{n}=k(a-b)$
Where, $k = \left[ {{{(a - b)}^{n - 1}} + {\,^n}{C_1}{{(a - b)}^{n - 2}}b + \ldots + {\,^n}{C_{n - 1}}{b^{n - 1}}} \right]$ is a natural mumber
This shows that $(a-b)$ is a factor of $\left(a^{n}-b^{n}\right)$, where $n$ is a positive integer.
${\left( {x - \frac{1}{{2x}}} \right)^8}$ के विस्तार में ${x^2}$ का गुणांक होगा
$\left(\frac{ x +1}{ x ^{2 / 3}- x ^{1 / 3}+1}-\frac{ x -1}{ x - x ^{1 / 2}}\right)^{10}, x \neq 0,1$ के प्रसार में ' $x$ ' से स्वतंत्र पद बराबर है
${(1 + x)^{43}}$ के विस्तार में $(2r + 1)$ वें पद और $(r + 2)$ वें पद के गुणांक बराबर हैं, तब $r$ का मान होगा
यदि ${(3 + ax)^9}$ के विस्तार में ${x^2}$ व ${x^3}$ के गुणांक बराबर हों, तो $a$ का मान होगा
यदि $(1+ x )^{ p }(1- x )^{ q }, p , q \leq 15$, के प्रसार में $x$ तथा $x ^2$ के गुणांक क्रमशः $-3$ तथा $-5$ हैं, तो $x ^3$ का गुणांक बराबर है $..............$