यदि $a$ और $b$ भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि $\left(a^{n}-b^{n}\right)$ का एक गुणनखंड $(a-b)$ है, जबकि $n$ एक धन पूर्णांक है।

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

In order to prove that $(a-b)$ is a factor of $\left(a^{n}-b^{n}\right)$, it has to be proved that $a^{n}-b^{n}=k(a-b),$ where $k$ is some natural number

It can be written that, $a=a-b+b$

$\therefore a^{n}=(a-b+b)^{n}=[(a-b)+b]^{n}$

$ = {\,^n}{C_0}{(a - b)^n} + {\,^n}{C_1}{(a - b)^{n - 1}}b +  \ldots  + {\,^n}{C_{n - 1}}(a - b){b^{n - 1}} + {\,^n}{C_n}{b^n}$

$ = {(a - b)^n} + {\,^n}{C_1}{(a - b)^{n - 1}}b +  \ldots  + {\,^n}{C_{n - 1}}(a - b){b^{n - 1}} + {b^n}$

$\Rightarrow a^{n}-b^{n}=(a-b)\left[(a-b)^{n-1}+^{n} C_{1}(a-b)^{n-2} b+\ldots+^{n} C_{n-1} b^{n-1}\right]$

$\Rightarrow a^{n}-b^{n}=k(a-b)$

Where, $k = \left[ {{{(a - b)}^{n - 1}} + {\,^n}{C_1}{{(a - b)}^{n - 2}}b +  \ldots  + {\,^n}{C_{n - 1}}{b^{n - 1}}} \right]$ is a natural mumber

This shows that $(a-b)$ is a factor of $\left(a^{n}-b^{n}\right)$, where $n$ is a positive integer.

Similar Questions

यदि ${\left( {a{x^2} + \frac{1}{{bx}}} \right)^{11}}$ में ${x^7}$ का गुणांक, ${\left( {ax - \frac{1}{{b{x^2}}}} \right)^{11}}$ में ${x^{ - 7}}$ के गुणांक के समान हो, तब $ab =$

  • [AIEEE 2005]

यदि $\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^n$ के विस्तार में आरंभ से पाँचवे पद का अंत से पाँचवे पद से अनुपात $\sqrt{6}: 1$ है, तब आरंभ से तीसरा पद है :

  • [JEE MAIN 2023]

यदि $\left(\frac{\mathrm{x}^{\frac{5}{2}}}{2}-\frac{4}{\mathrm{x}^{\ell}}\right)^9$ के द्विपद प्रसार में अचर पद $-84$ है तथा $\mathrm{x}^{-3 \ell}$ का गुणांक $2^\alpha \beta$ है, जहाँ $\beta<0$ एक विषम संख्या है, तो $|\alpha \ell-\beta|$ बराबर है______________. 

  • [JEE MAIN 2023]

$\sum\limits_{j = 0}^{200} {{{(1 + x)}^j}} $ के विस्तार में ${x^{100}}$ का गुणांक है

यदि ${\left\{ {{2^{{{\log }_2}\sqrt {({9^{x - 1}} + 7)} }} + \frac{1}{{{2^{(1/5){{\log }_2}({3^{x - 1}} + 1)}}}}} \right\}^7}$ के प्रसार में छठवां पद $84$ है, तब $x$ का मान है