8. Sequences and SeriesMedium

જો $a$ અને $b$ વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક $\frac{a^{n}+b^{n}}{a^{n-1}+b^{n-1}}$ ન હોય, તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

Solution

$A.M.$ of $a$ and $b$ $=\frac{a+b}{2}$

According to the given condition,

$\frac{a+b}{2}=\frac{a^{n}+b^{n}}{a^{n-1}+b^{n-1}}$

$\Rightarrow(a+b)\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right)=2\left(a^{n}+b^{n}\right)$

$\Rightarrow a^{n}+a b^{n-1}+b a^{n-1}+b^{n}=2 a^{n}+2 b^{n}$

$\Rightarrow a b^{n-1}+a^{n-1} b=a^{n}+b^{n}$

$\Rightarrow a b^{n-1}-b^{n}=a^{n}-a^{n-1} b$

$\Rightarrow b^{n-1}(a-b)=a^{n-1}(a-b)$

$\Rightarrow b^{n-1}=a^{n-1}$

$\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^{n-1}=1=\left(\frac{a}{b}\right)^{0}$

$\Rightarrow n-1=0$

$\Rightarrow n=1$

${S_1},{S_2},......,{S_{101}}$ એ કોઈ સમાંતર શ્રેણીના ક્રમિક પદો છે જો $\frac{1}{{{S_1}{S_2}}} + \frac{1}{{{S_2}{S_3}}} + .... + \frac{1}{{{S_{100}}{S_{101}}}} = \frac{1}{6}$ અને ${S_1} + {S_{101}} = 50$ ,હોય તો $\left| {{S_1} - {S_{101}}} \right|$ ની કિમત મેળવો

Advanced

Medium

Easy

Difficult

Medium