જો $a, b, c,d$, તે સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, અને જો $a$ અને $b$ $x^{2}-3 x+p=0$ ના બીજ હોય અને $c, d$ $x^{2}-12 x+q=0$ ના બીજ હોય તો સાબિત કરો કે $(q+p):(q-p)=17: 15$
It is given that $a$ and $b$ are the roots of $x^{2}-3 x+p=0$
$\therefore a+b=3$ and $a b=p$ .......$(1)$
Also, $c$ and $d$ are the roots of $x^{2}-12 x+q=0$
$\therefore c+d=12$ and $c d=q$ .........$(2)$
It is given that $a, b, c, d$ are in $G.P.$
Let $a=x, b=x r, c=x r^{2}, d=x r^{3}$
From $(1)$ and $(2)$
We obtain $x+x y=3 \Rightarrow x(1+r)=3$
$x r^{2}+x^{3}=12$
$\Rightarrow x r^{2}(1+r)=12$
On dividing, we obtain
$\frac{x r^{2}(1+r)}{x(1+r)}=\frac{12}{3}$
$\Rightarrow r^{2}=4$
$\Rightarrow r=\pm 2$
When $r=2, x=\frac{3}{1+2}=\frac{3}{3}=1$
When $r=-2, x=\frac{3}{1-2}=\frac{3}{-1}=-3$
Case $I:$ When $r=2$ and $x=1, \quad a b=x^{2} r=2, \quad c d=x^{2} r^{5}=32$
$\therefore \frac{q+p}{q-p}=\frac{32+2}{32-2}=\frac{34}{30}=\frac{17}{15}$
i.e., $(q+p):(q-p)=17: 15$
Case $II:$
When $r=-2, x=-3, a b=x^{2} r=-18, c d=x^{2} r^{5}=-288$
$\therefore \frac{q+p}{q-p}=\frac{-288-18}{-288+18}=\frac{-306}{-270}=\frac{17}{15}$
i.e., $(q+p):(q-p)=17: 15$
Thus, in both the cases, we obtain $(q+p):(q-p)=17: 15$
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો તેના પ્રથમ $5$ પદના સરવાળાથી $4$ ગણો હોય, તો તેના પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવતનો ગુણોત્તર...... છે.
જો $\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ એ સામાન્ય તફાવત 1 હોય તેવી સમાંતર શ્રેણી છે, જ્યાં $n$ એ યુગ્મ પૂર્ણાંક હોય અને $\sum \limits_{ i =1}^{ n } a _{ i }=192,\sum \limits_{ i =1}^{ n / 2} a _{2 i }=120$ હોય, તો $n$ = ........
શ્રેણીઓ $S _1=3+7+11+15+19+\ldots$ અને $S _2=1+6+11+16+21+\ldots$ નું સામાન્ય $8$મું પદ $............$ છે.
એક બહુકોણમાં બે ક્રમિક અંતઃકોણોનો તફાવત $5^{\circ}$ છે. જો સૌથી નાનો ખૂણો $120^{\circ}$ નો હોય, તો તે બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા શોધો.
જો સમાંતર શ્રેણી $2, 5, 8, ..$ ના પ્રથમ $2n$ પદોનો સરવાળો એ સમાંતર શ્રેણી $57, 59, 61, ..$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળા બરાબર હોય, તો $n =…$