यदि $x^{2}-3 x+p=0$ के मूल $a$ तथा $b$ हैं तथा $x^{2}-12 x+q=0,$ के मूल $c$ तथा $d$ हैं, जहाँ $a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी के रूप में हैं। सिद्ध कीजिए कि $(q+p):(q-p)=17: 15$
It is given that $a$ and $b$ are the roots of $x^{2}-3 x+p=0$
$\therefore a+b=3$ and $a b=p$ .......$(1)$
Also, $c$ and $d$ are the roots of $x^{2}-12 x+q=0$
$\therefore c+d=12$ and $c d=q$ .........$(2)$
It is given that $a, b, c, d$ are in $G.P.$
Let $a=x, b=x r, c=x r^{2}, d=x r^{3}$
From $(1)$ and $(2)$
We obtain $x+x y=3 \Rightarrow x(1+r)=3$
$x r^{2}+x^{3}=12$
$\Rightarrow x r^{2}(1+r)=12$
On dividing, we obtain
$\frac{x r^{2}(1+r)}{x(1+r)}=\frac{12}{3}$
$\Rightarrow r^{2}=4$
$\Rightarrow r=\pm 2$
When $r=2, x=\frac{3}{1+2}=\frac{3}{3}=1$
When $r=-2, x=\frac{3}{1-2}=\frac{3}{-1}=-3$
Case $I:$ When $r=2$ and $x=1, \quad a b=x^{2} r=2, \quad c d=x^{2} r^{5}=32$
$\therefore \frac{q+p}{q-p}=\frac{32+2}{32-2}=\frac{34}{30}=\frac{17}{15}$
i.e., $(q+p):(q-p)=17: 15$
Case $II:$
When $r=-2, x=-3, a b=x^{2} r=-18, c d=x^{2} r^{5}=-288$
$\therefore \frac{q+p}{q-p}=\frac{-288-18}{-288+18}=\frac{-306}{-270}=\frac{17}{15}$
i.e., $(q+p):(q-p)=17: 15$
Thus, in both the cases, we obtain $(q+p):(q-p)=17: 15$
$100$ व $1000$ के बीच $9$ से विभाजित संख्याओं का योग है
$a_{n}=(n-1)(2-n)(3+n)$ द्वारा परिभाषित अनुक्रम का $20$ वाँ पद क्या हैं ?
यदि $a$ तथा $b$ के मध्य $n$ समान्तर माध्य इस प्रकार प्रविष्ट किये जाते है कि प्रथम माध्य तथा अंतिम माध्य का अनुपात $1: 7$ तथा $a+n=33$ है, $n$ का मान है
माना $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ एक $A.P.$ है। यदि $\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{10}}{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{p}}=\frac{100}{p^{2}}, p \neq 10$ है, तो $\frac{a_{11}}{a_{10}}$ बराबर है
माना तीन अंक $a, b, c$ $A.P.$ में हैं। इनमें से प्रत्येक अंक को तीन बार प्रयोग कर $9$ अंको की संख्याएँ इस प्रकार बनाई जाती है कि तीन क्रमागत संख्याएँ कम से कम एक बार $A.P.$ में हो। इस प्रकार की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती है ?