यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम $p$ पदों का योग, प्रथम $q$ पदों के योगफल के बराबर हो तो प्रथम $(p+q)$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
Let $a$ and $d$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively.
Here,
$S_{P}=\frac{p}{2}[2 a+(p-1) d]$
$S_{q}=\frac{p}{2}[2 a+(q-1) d]$
According to the given condition, $\frac{p}{2}[2 a+(p-1) d]=\frac{q}{2}[2 a+(q-1) d]$
$\Rightarrow p[2 a+(p-1) d]=q[2 a+(q-1) d]$
$\Rightarrow 2 a p+p d(p-1)=2 a q+q d(q-1)$
$\Rightarrow 2 a(p-q)+d[p(p-1)-q(q-1)]=0$
$\Rightarrow 2 a(p-q)+d\left[p^{2}-p-q^{2}+q\right]=0$
$\Rightarrow 2 a(p-q)+d[(p-q)(p+q)-(p-q)]=0$
$\Rightarrow 2 a(p-q)+d[(p-q)(p+q-1)]=0$
$\Rightarrow 2 a+d(p+q-1)=0$
$\Rightarrow d=\frac{-2 a}{p+q-1}$ .........$(1)$
$\therefore S_{p+q}=\frac{p+q}{2}[2 a+(p+q-1) \cdot d]$
$\Rightarrow S_{p+q}=\frac{p+q}{2}\left[2 a+(p+q-1)\left(\frac{-2 a}{p+q-1}\right)\right]$ [ From $(1)$ ]
$=\frac{p+q}{2}[2 a-2 a]$
$=0$
Thus, the sum of the first $(p+q)$ terms of the $A.P.$ is $0$
$2$ तथा $38$ के बीच $n$ समांतर माध्यों को रखने पर परिणामी श्रेणी का योगफल $200$ है, तब $n$ का मान है
प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं का योग होता है
माना एक समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम $n$ पदों का योगफल $S _{ n }$ है। यदि $S _{3 n }=3 S _{2 n }$ है, तो $\frac{ S _{4 n }}{ S _{2 n }}$ बराबर है
यदि $a,\,b,\,c$ समांतर श्रेणी में हों, तो $(a + 2b - c)$ $(2b + c - a)$ $(c + a - b)$ =
अनुक्रम में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिये, जिनका $n$ वाँ पद दिया गया है
$a_{n}=(-1)^{n-1} 5^{n+1}$